本書是在作者多年講授數(shù)學(xué)分析課程講義的基礎(chǔ)上編寫而成的，是作者多年授課經(jīng)驗(yàn)與教學(xué)心得的總結(jié)。全書分上、下兩冊。
上冊分三部分。先感性認(rèn)識與論述初等一元微積分:函數(shù)、極限與連續(xù)性、定積分、導(dǎo)數(shù)，微積分學(xué)基本定理，簡單常微分方程及一些經(jīng)典應(yīng)用。接著是微積分學(xué)嚴(yán)格化:實(shí)數(shù)的公理化定義和極限理論，據(jù)此論證一元函數(shù)的極限、連續(xù)性和Riemann積分的理論。然后敘述級數(shù)理論、多元函數(shù)的極限與連續(xù)性、空間定向、空間解析幾何簡介。
下冊分三部分。先講述多元函數(shù)的微分學(xué)與積分學(xué)及場論初步。然后論述微分流形上的微積分，包括歐氏空間中的微分形式和積分公式、積分的連續(xù)性、廣義重積分、微分流形、流形上的微積分等。附錄介紹微積分學(xué)中若干基本問題的延伸與發(fā)展。
本書的內(nèi)容安排力圖符合微積分體系的認(rèn)識論規(guī)律、貼近微積分學(xué)發(fā)展脈絡(luò)，力求在邏輯上清楚，作者會不時(shí)將個(gè)人的一些看法采用評注或評議寫出，便于讀者理解。
本書最后五講比較難，屬于現(xiàn)代化的分析學(xué)，希冀對有興趣的讀者有些幫助。
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干丹巖，浙江大學(xué)教授，博導(dǎo)，曾開設(shè)過高等數(shù)學(xué)、工程數(shù)學(xué)、解析幾何、微分幾何、數(shù)學(xué)分析曾開設(shè)過高等數(shù)學(xué)、工程數(shù)學(xué)、解析幾何、微分幾何、數(shù)學(xué)分析、數(shù)學(xué)物理方程
目錄
前言
第1講 函數(shù)的極限和連續(xù)性 1
1.1 集合 1
1.2 實(shí)數(shù) 2
1.3 函數(shù) 3
1.4 極限 4
1.5 函數(shù)的連續(xù)性 8
1.6 關(guān)于函數(shù)記號的評議 9
第2講 定積分 11
2.1 求積類典型例子 11
2.2 定積分概念 13
2.3 定積分的基本性質(zhì) 15
第3講 定積分應(yīng)用與計(jì)算初步 18
3.1 定積分概念應(yīng)用舉例 18
3.2 定積分概念應(yīng)用的一般程式 19
3.3 定積分計(jì)算舉例 20
3.4 對數(shù)函數(shù)ln x 23
第4講 導(dǎo)數(shù).27
4.1 求導(dǎo)類典型問題 27
4.2 導(dǎo)數(shù)概念 29
4.3 導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則 31
4.4 導(dǎo)數(shù)概念舉例 32
第5講 求導(dǎo)法則和基本公式34
5.1 兩個(gè)重要求導(dǎo)法則 34
5.2 基本初等函數(shù)求導(dǎo)公式之推導(dǎo) 38
5.3 基本初等函數(shù)求導(dǎo)公式 42
5.4 高階導(dǎo)數(shù) 43
第6講 略論導(dǎo)數(shù)與定積分之關(guān)系 （微積分學(xué)基本定理） 45
6.1 微積分學(xué)基本定理 45
6.2 原函數(shù)和不定積分 47
6.3 變上限的定積分與原函數(shù)的存在性 49
第7講 微分中值定理與Taylor公式 51
7.1 Lagrange中值定理 51
7.2 Cauchy中值定理 54
7.3 Taylor公式.55
第8講 微分與無窮小 58
8.1 微分概念 58
8.2 微分的運(yùn)算法則和計(jì)算公式 59
8.3 高階微分 60
8.4 微分應(yīng)用于近似方法 61
8.5 無窮小與無窮大概念 63
8.6 階的比較 64
8.7 待定式和 L’Hospital法則 67
第9講 積分法初步 69
9.1 求積運(yùn)算法則和求積基本公式 69
9.2 積分的變量替換 71
9.3 分部積分法 78
9.4 有理函數(shù)的積分 83
第10講 一階常微分方程 87
10.1 一般概念 87
10.2 一階可分離變量的方程 89
10.3 可化為變量分離的某些一階方程 91
10.4 一階線性方程 93
第11講 二階常微分方程 99
11.1 可降階的二階常微分方程 99
11.2 二階線性常微分方程簡論 102
11.3 常系數(shù)二階線性方程 106
11.4 一些經(jīng)典微分方程模型及其應(yīng)用 111
第12講 實(shí)數(shù) 119
12.1 數(shù)的簡史 119
12.2 自然數(shù)的Peano公理系統(tǒng) 120
12.3 實(shí)數(shù)的公理化定義 121
12.4 數(shù)軸 123
12.5 實(shí)數(shù)的拓?fù)?124
12.6 演繹推理模式簡述 127
第13講 實(shí)數(shù)序列的極限 129
13.1 序列的極限概念 129
13.2 序列極限的重要性質(zhì) 132
13.3 區(qū)間套原理與聚點(diǎn)原理 136
13.4 單調(diào)序列 139
13.5 Cauchy原理 140
13.6 確界原理 142
第14講 一元函數(shù)的極限和連續(xù)性再論 143
14.1 函數(shù)的極限概念 143
14.2 單側(cè)過程和無窮過程之極限概念 146
14.3 函數(shù)的連續(xù)性概念 147
14.4 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 148
14.5 一致連續(xù)性 151
14.6 有限覆蓋定理 154
第15講 Riemann積分的理論 156
15.1 定積分概念 156
15.2 可積的一個(gè)必要條件.157
15.3 Darboux和 158
15.4 可積的充要條件 161
15.5 常見的可積函數(shù)類 164
15.6 定積分的基本性質(zhì) 167
15.7 再論導(dǎo)數(shù)與定積分之關(guān)系 171
第16講 數(shù)項(xiàng)級數(shù)、廣義積分和無窮乘積 175
16.1 級數(shù)定義 175
16.2 基本性質(zhì)和重要例題.178
16.3 常用的正項(xiàng)級數(shù)收斂判別法 183
16.4 一般項(xiàng)級數(shù) 187
16.5 廣義積分 190
16.6 無窮乘積 193
第17講 函數(shù)級數(shù) 196
17.1 函數(shù)序列和函數(shù)級數(shù)的一致收斂性 196
17.2 一致收斂的判別法 199
17.3 一致收斂的函數(shù)序列與函數(shù)級數(shù)的性質(zhì) 200
17.4 冪級數(shù) 204
17.5 Taylor級數(shù) 209
17.6 連續(xù)函數(shù)的多項(xiàng)式逼近 215
第18講 Fourier級數(shù) 219
18.1 三角級數(shù) 219
18.2 Fourier級數(shù)定義 220
18.3 Fourier級數(shù)的斂散性 222
18.4 收斂定理的證明 225
18.5 例題 228
18.6 物理解釋 232
18.7 Gibbs現(xiàn)象 233
18.8 推廣 234
第19講 多元函數(shù)的極限和連續(xù)性 237
19.1 空間Rn的拓?fù)?237
19.2 Rn中的序列極限 240
19.3 多元函數(shù)的極限 242
19.4 多元函數(shù)的連續(xù)性 245
19.5 線性映射空間 246
第20講 平面和空間的定向及由向量所張的面積和體積 253
20.1 R2中兩個(gè)向量所張的面積 253
20.2 R3中的向量積 254
20.3 R2和R3中的定向 255
20.4 R3中的混合積和三個(gè)向量所張的體積 257
第21講 空間解析幾何簡介 259
21.1 平面方程 259
21.2 直線方程 261
21.3 R2中的二次曲線 263
21.4 二次曲面 267
第22講 多元微分學(xué)的基本概念 1
22.1 偏導(dǎo)數(shù)和方向?qū)?shù) 1
22.2 全導(dǎo)數(shù)和梯度 2
22.3 復(fù)合求導(dǎo)和逆映射求導(dǎo) 8
22.4 高階導(dǎo)數(shù) 11
第23講 多元微分學(xué)的基本定理 16
23.1 中值定理 16
23.2 Taylor公式 17
23.3 隱函數(shù)定理 20
23.4 反函數(shù)定理 24
第24講 多元微分學(xué)的應(yīng)用 26
24.1 曲線的切線和法線或法平面 26
24.2 梯度與曲面的切面和法線 29
24.3 極值 29
24.4 條件極值的Lagrange乘子法 32
24.5 函數(shù)相關(guān) 35
24.6 齊次函數(shù)的Euler公式 36
第25講 曲線積分 39
25.1 曲線的弧長 39
25.2 曲線積分概念和典型實(shí)例 44
25.3 曲線積分的實(shí)例 46
25.4 曲線積分的計(jì)算 49
25.5 Rn中的曲線積分 50
第26講 重積分 52
26.1 平面集合的面積概念 52
26.2 二重積分概念 62
26.3 二重積分的可積性 65
26.4 二重積分化為累次積分 69
26.5 二重積分化為累次積分（續(xù)） 72
26.6 變量替換的應(yīng)用 75
26.7 Jacobi行列式的幾何意義 78
26.8 二重積分應(yīng)用舉例 80
26.9 三重及更高重積分 81
26.10 關(guān)于二重積分的評議 81
第27講 曲面積分 83
27.1 曲面概念 83
27.2 曲面的定向 85
27.3 曲面的面積 87
27.4 曲面積分概念 90
第28講 多元積分公式 95
28.1 Green公式 95
28.2 Gauss公式 100
28.3 Stokes公式 101
28.4 重積分變量替換公式的證明 （C2條件下） 103
第29講 場論初步 112
29.1 數(shù)量場的梯度 112
29.2 通量與散度 112
29.3 環(huán)量與旋度 114
第30講 歐氏空間中的微分形式和積分公式 117
30.1 *中微分形式的引入 117
30.2 對偶空間 120
30.3 反變的和共變的 122
30.4 *是反變的,*是共變的 125
30.5 應(yīng)用于積分概念 129
30.6 積分基本公式 130
第31講 積分的連續(xù)性 133
31.1 定積分的連續(xù)性 133
31.2 線積分的連續(xù)性 134
31.3 重積分的連續(xù)性 137
31.4 曲面積分的連續(xù)性 138
31.5 積分號下取極限 141
31.6 磨光法的應(yīng)用 147
31.7 重積分變量替換公式證明完成（C1條件下） 151
第32講 廣義重積分 160
32.1 廣義二重積分概念 160
32.2 收斂性蘊(yùn)涵絕對收斂性 161
32.3 典型例子與收斂定理 164
32.4 化為累次積分 166
第33講 微分流形 174
33.1 拓?fù)淇臻g 174
33.2 連通性、緊性、分離性和可分性 177
33.3 微分流形 180
33.4 單位分解 184
第34講 流形上的微積分 185
34.1 回顧歐氏空間中重積分變量替換公式 185
34.2 Rn中在給定點(diǎn)處的 （切）向量 186
34.3 微分流形的切向量和余切向量 188
34.4 可微映射的導(dǎo)射 189
34.5 外代數(shù) 194
34.6 切叢的微分結(jié)構(gòu) 196
34.7 流形上的微分形式 198
34.8 單形和鏈 202
34.9 流形上的積分 207
34.10 流形上的 Stokes定理 208
附錄 212
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