基于黎曼幾何的信息幾何已經(jīng)成為研究信息領(lǐng)域中非線性、隨機(jī)性問(wèn)題的重要工具。本書介紹信息幾何的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。全書共5章：第1章簡(jiǎn)要介紹信息幾何的由來(lái)以及思想與方法；第2章介紹作為信息幾何基礎(chǔ)的微分幾何與黎曼幾何基礎(chǔ)；第3章介紹信息幾何涉及的李群與李代數(shù)的基本內(nèi)容；第4章介紹正定矩陣流形的幾何結(jié)構(gòu)，包括在不同黎曼度量下的測(cè)地距離以及黎曼梯度；第5章簡(jiǎn)要介紹經(jīng)典信息幾何的基本內(nèi)容。
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北京市高教學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)研究分會(huì)理事長(zhǎng)、北京交叉科學(xué)學(xué)會(huì)副理事長(zhǎng)
目錄
前言 i
第1章 信息幾何簡(jiǎn)介 1
參考文獻(xiàn) 3
第2章 微分幾何與黎曼幾何基礎(chǔ) 8
2.1 微分幾何基礎(chǔ) 8
2.1.1 三維歐氏空間中的曲線理論簡(jiǎn)介 8
2.1.2 三維歐氏空間中的曲面理論簡(jiǎn)介 9
2.2 黎曼幾何基礎(chǔ) 19
2.2.1 基本概念 19
2.2.2 仿射聯(lián)絡(luò)與黎曼度量 22
2.2.3 黎曼曲率張量與曲率 27
2.2.4 等距映射與測(cè)地線 36
2.2.5 指數(shù)映射與雅可比場(chǎng) 42
2.2.6 黎曼流形上的算子 44
參考文獻(xiàn) 46
第3 章李群與李代數(shù) 48
3.1 矩陣指數(shù)與矩陣對(duì)數(shù) 48
3.2 群 50
3.3 李群的基本內(nèi)容 52
3.4 矩陣?yán)钊旱耐負(fù)湫再|(zhì) 56
3.5 李代數(shù)與不變的黎曼度量 61
3.6 矩陣?yán)钊旱睦畲鷶?shù)65
3.7 緊致李群的幾何結(jié)構(gòu) 70
3.8 李變換群 73
3.9 矩陣?yán)钊旱膸缀谓Y(jié)構(gòu) 76
3.9.1 黎曼梯度 76
3.9.2 一般線性群上的黎曼度量 77
3.9.3 正交群與酉群上的黎曼梯度 79
3.9.4 實(shí)辛群的幾何結(jié)構(gòu) 83
3.9.5 洛倫茲群的幾何結(jié)構(gòu) 88
參考文獻(xiàn) 94
第4 章正定矩陣流形的幾何結(jié)構(gòu) 96
4.1 正定矩陣流形SPD(n)96
4.2 SPD(n)上的仿射不變度量 98
4.3 SPD(n)上的對(duì)數(shù)歐氏度量 105
4.4 SPD(n)上的Wasserstein度量 111
4.4.1 預(yù)備知識(shí)——矩陣的平方根 111
4.4.2 GL(n,R)到SP D(n)的黎曼淹沒(méi) 112
4.4.3 GL(n,R)上點(diǎn)的切空間的直和分解 112
4.4.4 SP D(n)上黎曼度量的顯式表達(dá) 114
4.4.5 SP D(n)上任意兩點(diǎn)之間最短距離的顯式表達(dá) 118
4.4.6 (SP D(n),g)的對(duì)稱度 121
4.4.7 測(cè)地線 123
4.4.8 聯(lián)絡(luò) 128
4.4.9 曲率 132
4.5 SPD(n)上的幾何平均值 137
4.5.1 歐氏空間中的幾何平均值 137
4.5.2 基于黎曼度量的幾何平均值 138
參考文獻(xiàn) 145
第5章 經(jīng)典信息幾何理論 149
5.1 統(tǒng)計(jì)流形與Fisher信息度量 149
5.2 對(duì)偶聯(lián)絡(luò) 151
5.3 指數(shù)分布族流形 157
5.4 對(duì)偶平坦流形 166
5.5 最大熵 169
5.6 Kullback-Leibler散度 171
5.7 廣義畢達(dá)哥拉斯定理 178
參考文獻(xiàn) 180
索引 183
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