《代數(shù)學2 近世代數(shù)）》緊接《代數(shù)學I：代數(shù)學基礎》，是中國 科學技術大學代數(shù)系列教材三部曲的第二部。我們重 點參考已經(jīng)使用近30年的中國科學技術大學*名教材 《近世代數(shù)引論》，并參考Artin, Lang, Hungerford, Duminit-Foot。等*名英文教材，講 述群、環(huán)、域的基本理論和伽羅瓦理論。全書分為六 章，在“近世代數(shù)”課程核心內(nèi)容的基礎上，強調(diào)與 線性代數(shù)等前置及后續(xù)課程的銜接，并引入當今數(shù)學 研究實例。增添了很多來自于線性代數(shù)的例子，增加 了對矩陣群的討論，強調(diào)群在集合上的作用，并從這 一觀點引出群論核心內(nèi)容，還強調(diào)伽羅瓦理論的計算 和應用。除此之外，配備了大量來自線性代數(shù)、解析 幾何甚至數(shù)學分析的習題。
本書是中國科學技術大學“近世代數(shù)”和“近世 代數(shù)H”課程教材，適用于高等院校數(shù)學專業(yè)學生， 以及其他對代數(shù)思想和方法感興趣的學生和學者。
第一章 群論基礎
1.1 集合論預備知識
1.1.1 集合的定義
1.1.2 集合的基本運算
1.1.3 一些常用的集合記號
1.1.4 映射，合成律和結合律
1.1.5 等價關系，等價類與分拆
1.1.6 映射分解和交換圖表
習題
1.2 群的基本概念和例孑
1.2.1 群的定義和例子
1.2.2 子群和群的直積
1.2.3 GLn的子群：典型群
1.2.4 群的同態(tài)與同構
習題
1.3 子群與陪集分解
1.3.1 元素的階與循環(huán)群
1.3.2 陪集和陪集分解
習題
1.4 正規(guī)子群與商群
習題
第二章 群在集合上的作用
2.1 對稱群
2.1.1 置換及其表示
2.1.2 奇置換與偶置換
2.1.3 交錯群
習題
2.2 群在集合上的作用
2.2.1 軌道與穩(wěn)定子群
2.2.2 G在集合X上的作用與G到群Sk的群同態(tài)的關系
習題
2.3 群在自身上的作用
2.3.1 左乘作用
2.3.2 共軛作用
2.3.3 G在子群日上的共軛作用
習題
2.4 西羅定理及其應用
2.4.1 西羅定理
2.4.2 西羅定理的應用
習題
2.5 自由群與群的表現(xiàn)
2.5.1 自由群
2.5.2 群的表現(xiàn)
習題
2.6 有限生成阿貝爾群的結構
2.6.1 有限生成自由阿貝爾群
2.6.2 有限生成阿貝爾群的結構定理
習題
第三章 環(huán)和域
3.1 環(huán)和域的定義
3.1.1 環(huán)的概念的引入
3.1.2 定義和例子
習題
3.2 環(huán)的同態(tài)與同構
3.2.1 定義與簡單例子
3.2.2 環(huán)同態(tài)的核與理想
3.2.3 環(huán)同態(tài)的更多典型例子
習題
3.3 環(huán)的同態(tài)基本定理
3.3.1 理想與商環(huán)
3.3.2 環(huán)同態(tài)基本定理
3.3.3 同態(tài)基本定理的應用
3.3.4 中國剩余定理
習題
3.4 整環(huán)與域
3.4.1 素理想與極大理想
3.4.2 整環(huán)的局部化
習題
第四章 因子分解
4.1 唯一因子分解環(huán)
4.1.1 因子，素元與不可約元
4.1.2 唯一因子分解環(huán)
4.1.3 歐幾里得環(huán)
習題
4.2 高斯整數(shù)與二平方和問題
習題
4.3 多項式環(huán)與高斯引理
4.3.1 環(huán)上的多項式環(huán)
4.3.2 高斯引理
習題
第五章 域擴張理論
5.1 域擴張基本理論
5.1.1 常見的域的例子
5.1.2 代數(shù)擴張與超越擴張
5.1.3 代數(shù)擴張的性質
5.1.4 同態(tài)與同構的一些性質
5.1.5 代數(shù)閉包與代數(shù)封閉域
習題
5.2 尺規(guī)作圖問題
習題
5.3 代數(shù)基本定理
習題
5.4 有限域的理論
習題
第六章 伽羅瓦理論
6.1 伽羅瓦理論的主要定理
6.1.1 伽羅瓦群的定義和例子
6.1.2 可分多項式與可分擴張
6.1.3 正規(guī)擴張
6.1.4 伽羅瓦理論基本定理
習題
6.2 方程的伽羅瓦群
6.2.1 三次方程的分裂域
6.2.2 一般情況
6.2.3 對稱多項式
習題
6.3 伽羅瓦擴張的一些例子
6.3.1 分圓擴張
6.3.2 庫默爾擴張
6.3.3 有限域的擴張
習題
6.4 方程的根式可解性
習題
6.5 主要定理的證明
習題
參考文獻
索引
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