《鞅與隨機(jī)微分方程》系統(tǒng)地介紹概率論、鞅和隨機(jī)積分及隨機(jī)微分方程的基本理論。內(nèi)容包括:測(cè)度與積分,獨(dú)立性,RadonNikodym定理和條件數(shù)學(xué)期望等概率論的基礎(chǔ)知識(shí);停時(shí)、離散鞅和連續(xù)鞅的基本內(nèi)容;鞅和連續(xù)局部半鞅隨機(jī)積分的一般理論及It型隨機(jī)微分方程的初步內(nèi)容。閱讀《鞅與隨機(jī)微分方程》只需要讀者具有初等概率論的知識(shí),而不需要具備測(cè)度論的知識(shí)。
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《鞅與隨機(jī)微分方程》:
第一篇 概率論基礎(chǔ)
第1章 可測(cè)空間與乘積可測(cè)空間
1.1 萬代數(shù)理論
概率論是研究隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律的數(shù)學(xué)學(xué)科.在概率論中,事件和概率是最基本的概念.從概率論本身發(fā)展的需要來看,明確地規(guī)定事件和概率是必需的,為了規(guī)定什么是事件,一方面要考慮到對(duì)事件應(yīng)允許進(jìn)行必要的運(yùn)算,以滿足分析隨機(jī)現(xiàn)象的實(shí)際需要,因而事件類不能太小,至少對(duì)某些運(yùn)算應(yīng)該是封閉的;另一方面為了能對(duì)每個(gè)事件給出概率,并保證對(duì)概率有一定的要求,如可加性等,因此事件類就不能太大,否則就無法給出一個(gè)“兼顧各方面要求”的概率。
事件從其運(yùn)算的觀點(diǎn)來看,它與集合的運(yùn)算是十分相近的.如果把試驗(yàn)可能結(jié)果叫的全體記為n,讓事件A與“n中某些叫在試驗(yàn)中出現(xiàn)”對(duì)應(yīng),即事件A={屬于n的子集A的任(t)在試驗(yàn)中出現(xiàn),這樣事件A與n的子集A就是一回事了.在這種對(duì)應(yīng)之下,事件全體就是n的某些子集的集合,概率就應(yīng)該是定義在n的某些子集上的一個(gè)以集合為自變量的函數(shù),從而規(guī)定概率和事件所必須兼顧到的各種要求就變?yōu)榱藢?duì)集合類與集合函數(shù)應(yīng)該滿足的要求,由于代數(shù)理論在概率論、隨機(jī)過程論及隨機(jī)微積分學(xué)中經(jīng)常涉及,所以,了解代數(shù)的結(jié)構(gòu)特征是很有必要的。