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　　第1章 流體及其物理性質
　　1.1 內容提要
　　1.1.1 要求及重？難點
　　要求 了解流體力學的任務？研究對象？發(fā)展概況與研究方法；理解流體質點？連續(xù)介質假定？流體密度？流體壓縮性和膨脹性？流體黏性等概念；掌握牛頓內摩擦定律及其應用。
　　重點 流體質點；連續(xù)介質假定；黏性流體；動力黏度與運動黏度；不可壓縮流體；理想流體；牛頓內摩擦定律。
　　難點 牛頓內摩擦定律及其應用。
　　1.1.2 知識點
　　流體力學：研究流體的平衡（靜止或相對靜止）和宏觀運動規(guī)律以及流體與周圍物體之間相互作用的科學。
　　流體：容易流動的物體，包括液體和氣體。
　　流體質點：微觀上無窮大？宏觀上無窮小的流體微團。所謂微觀上無窮大，指的是流體微團內包含有數(shù)目巨大的流體分子，這些分子物理參數(shù)的統(tǒng)計平均值可作為流體微團的宏觀物理量；所謂宏觀上無窮小，指的是流體微團的體積相對于工程問題的宏觀特征尺寸來說非常小，小到可以被近似地看成只是一個“點”，所以流體微團也稱為流體質點。
　　連續(xù)介質假定：流體是由流體質點組成的連續(xù)介質，流體質點之間沒有間隙？在空間連續(xù)分布。
　　密度：單位體積流體所具有的質量，反映流體在空間某點的質量密集程度。
　　均質流體：空間各點密度相同的流體。
　　相對密度：流體的密度與標準大氣壓下4℃純水的密度之比。
　　壓縮性：在一定溫度下，流體的體積隨壓強升高而縮小的性質稱為流體的壓縮性。
　　膨脹性：在一定壓強作用下，流體的體積隨溫度升高而增大的性質稱為流體的膨脹性。
　　不 可壓縮流體：流體的膨脹系數(shù)和壓縮系數(shù)均為零的流體稱為不可壓縮流體。不可壓縮流體的密度保持為常數(shù)。
　　黏性：流體層間或流體與固體之間發(fā)生相對運動時，流體內部產(chǎn)生摩擦切應力的性質。
　　動力黏度：單位速度梯度下的切應力大小。
　　運動黏度：流體動力黏度與密度之比。
　　理想流體：黏度為零的流體稱為理想流體。
　　1.1.3 重要公式
　　1.2 典型例題
　　例1-1 設動力黏度為μ 的流體，在半徑為R的圓管內作定常流動，體積流量為Q，圓管截面上軸向速度分布為u = 2QπR4（R2 -r2），如圖所示。試求圓管截面上的摩擦剪應力分布τ（r）？壁面剪應力τw 和管軸上的剪應力τ0。
　　解：根據(jù)牛頓內摩擦定律，有τ =μdudr。代入速度分布，得τ=-4Qμ/πR4r
　　上式表明在圓管截面上，摩擦剪應力沿徑向為線性分布。
　　在圓管壁面上，τw = -4Qμ/πR4r|r=R=-4Qμ/πR3 ，說明壁面上摩擦剪應力的絕對值最大。
　　在管軸上，τ0 =-4Qμ/πR4r|r=0，摩擦剪應力的絕對值最小。
　　例1-2 如例1-2a圖所示。一圓錐體繞其中心軸以ω =16rad/s的角速度旋轉。已知錐體半徑R =0.3m，錐體高H =0.5m，錐體與錐腔之間的間隙δ =1mm，間隙內潤滑油的動力黏度μ=0.1Pa s，試求使錐體旋轉所需要的力矩M和功率N。
　　解：建立以圓錐頂端為坐標原點的坐標系（例1-2圖（b））。
　　設圓錐半角為α，則tanα =R/H ，cosα = H/ H2 +R2。在高度h 處，圓錐體半徑為r =htanα。半徑r 處的線速度為ωr =ωhtanα，速度梯度為ωrδ =ωhtanαδ ，摩擦剪應力對應微元高度dh 處圓錐斜面的微元面積為dA =2πr dh/cosα =2π htanα dh/cosα。而τ dA =μωhtanα/δ 2π htanα dh/cosα =2πμωtan2α/δcosα h2dh
　　所以，微元轉動力矩為dM =τ dA r =2πμωtan3α/δcosα h3dh。
　　整個圓錐體的轉動力矩為M =∫dM =∫H/2πμωtan3α/δcosα h3dh = H4tan3α/2δcosα
　　功率為N = Mω = πμω2H4tan3α/2δcosα。代入相關數(shù)據(jù)，得
　　M =3.14×0.1×162 ×0.54 ×0.632×0.001×.857 =633.1N m
　　N = Mω =633。13×16=10.13kW
　　例1-3圖
　　例1-3 黏性不可壓縮薄層液體，在重力作用下沿一傾角為α 的平面壁作定常層流流動，如圖所示。已知液體厚度為h，密度為ρ，動力黏度為μ，液層內的速度分布為ux=ρ-sinα/2μ （2hy -y2）。試求：
　�。�1）當α =30°時，斜壁上的切應力τw1；
　�。�2）當α =90°時，斜壁上的切應力τw2；
　　（3）自由液面上的切應力τ0。
　　解：（1）因為ux =ρ-sinα/2μ （2hy -y2），所以壁面上的摩擦切應力為τw =μdux=0=ρ-sinα/2（2h-2y）y=0=ρ-hsinα
　　當α =30°時，τw1 =ρ-hsin30°=12ρ-h。
　　（2）當α =90°時，τw2 =ρ-hsin90°=ρ-h。
　　（3）在自由液面上，有τ0 =μduxy y=h=ρ-sinα2 （2h-2y）|y=h =0
　　1.3 思考題
　　思1-1 流體力學研究的是流體的微觀運動還是宏觀運動？通常將流體視為連續(xù)介質為什么是合理的？“抽刀斷水水更流”反映了流體的什么特性？
　　答：（1）流體力學研究流體的宏觀運動。
　　流體是由分子組成的。從微觀角度看，流體并不是一種連續(xù)分布的介質，因而流體中的物理參數(shù)也不是連續(xù)分布的。從微觀角度研究流體力學問題時，需要運用分子動力學理論，由于分子很小，通常在很小的體積內存在大量分子，且分子運動具有隨機性，所以在分子水平上研究流體的運動非常困難。在絕大多數(shù)實際流體力學問題中，人們感興趣的并不是個別分子的微觀運動特征而是流體的宏觀運動參數(shù)，例如圓管中流體沿軸向或徑向的速度分布？機翼表面的壓強分布等。流體力學測量儀器能夠反映出來的也正是這樣一些宏觀物理參數(shù)，而這些宏觀物理參數(shù)表征的是許許多多個分子的相應物理參數(shù)的統(tǒng)計平均值。因而，通常流體力學研究的是流體的宏觀運動。
　　（2）通常將流體視為連續(xù)介質是合理的。
　　將流體劃分成許許多多足夠小的流體微團，每一個很小的流體微團內仍然包含有數(shù)目巨大的流體分子，將流體微團內這些分子的物理參數(shù)的統(tǒng)計平均值視為流體微團的相應宏觀物理參數(shù)。由于流體微團的體積相對于工程實際問題中的宏觀特征尺寸來說非常小，可以小到被近似認為是一個沒有大小和尺寸的“點”，所以流體微團也稱為流體質點。如果將流場視為由這樣的流體質點組成，則流體就可成為連續(xù)分布的沒有間隙的介質，而流體宏觀的物理量如速度？壓強？密度等就成為流場中連續(xù)分布的變量。因而，將流體視為由流體質點組成的連續(xù)介質通常是合理的。
　　（3）反映了流體的易流動性以及宏觀角度下流體的連續(xù)介質特性。
　　思1-2 如何利用所學知識解釋“風生水起”現(xiàn)象？
　　答：實際的空氣和水均有黏性，屬于黏性流體。當風吹過靜止的水面時，接近水面附近的流動空氣在鉛垂方向將會存在速度梯度，根據(jù)牛頓內摩擦定律，空氣內部將會產(chǎn)生摩擦剪應力，這個摩擦剪應力在汽水交界面上也將會連續(xù)地作用和傳遞。由于靜止的流體不能承受切應力的作用，如果在水面上存在摩擦切應力，不管這種切應力是何等的微小，在水中也將一定會存在速度梯度，從而引起水的運動。因而根據(jù)實際流體具有黏性以及牛頓內摩擦定律可以解釋“風生水起”現(xiàn)象。
　　思1-3 溫度為20℃ 時，空氣和水的運動黏度之比ν空氣/ν水≈15，是否可以認為空氣的黏性比水的黏性大？為什么？
　　答：不能。根據(jù)牛頓平板實驗可以知道，平板運動所受到的摩擦阻力與流體的動力黏度μ（μ =ρν）成正比，因而動力黏度的大小可以直接反映流體黏性的大小。運動黏度定義為流體動力黏度與流體密度之比，因與密度有關，因而不能根據(jù)運動黏度的大小直接確定流體黏性的大小。盡管ν空氣/ν水≈15，但由于ρ水≈1000k-/m3，ρ空氣≈1。2k-/m3，故μ空氣/μ水=ρ空氣ν空氣/（ρ水ν水）≈1。2×15/1000≈1/55所以水的動力黏度大于空氣的動力黏度，水的黏性比空氣大。
　　思1-4 游泳比賽時，游泳選手為什么不愿選擇靠近池壁的泳道？它對游泳成績有不利影響嗎？
　　答：兩側池壁上，流體速度恒為零。當游泳選手處于靠近池壁的泳道前進時，由于離池壁較近，相對于中間泳道的選手，靠近池壁的選手和池壁之間將會形成更大的速度梯度，選手身體上將會產(chǎn)生更大的摩擦剪應力，從而形成更大的游泳阻力�？拷�池壁泳道的選手，池壁對游泳成績會產(chǎn)生不利影響。
　　1.4 習題
　　習1-1 兩無限大平行平板，下板固定。上板以U =0.5m/s的速度滑移，保持兩板間距δ =0。2mm，板間充滿潤滑油，動力黏度為μ =0.01Pa s，密度為ρ=800k-/m3。試求：
　　（1）潤滑油的運動黏度ν；
　�。�2）上？下板的摩擦切應力大小τw1？τw2。
　　解：（1）ν =μ/ρ =0.01/800m2/s=1.25×10-5 m2/s
　　（2）兩板間的速度梯度近似取平均值，沿平板法線方向速度梯度保持為常數(shù)，du/dy=U/δ。根據(jù)牛頓內摩擦定律，上？下板的摩擦切應力為τw1 =τw2 =μdu/dy =μUδ=0.01×0.5/（0.2×10-3）=25（Pa）
　　習1-2 有一底面積為A =40cm×60cm 的矩形木板，質量為m =5k-，以U =0.9m/s的速度沿著與水平面成α =30°的斜面勻速下滑，木板與斜面之間的油層厚度為δ =1mm，求油的動力黏性系數(shù)μ。
　　解：木板重量在斜面方向的分量與木板摩擦阻力平衡時，勻速下滑。
　　m-sinα =μA du/dy， du/dy = U/δ
　　μ = m-sinα/A Uδ= 5×9.81×0.5/0.4×0.6× 0.9/0.001=0.114（Pa s）
　　習1-3 旋轉圓筒黏度計的內筒的直徑d =30cm，高h =30cm。外筒與內筒的間隙δ=0.2cm，間隙中充滿被測流體，外筒作勻速旋轉，角速度ω=15rad/s，測出作用在靜止內筒上的力矩為M =8.5N m。忽略筒底部的阻力，求被測流體的動力黏度μ？
　　解：外筒旋轉的線速度為v =ω（0.5d+δ），內筒表面積A =πdh，摩擦切應力τ=μdu/dy =μvδ
　　內筒所受力矩M =τA d2=μv δπdhd2。所以μ = 2Mδ/ω（0.5d+δ）πd2h = 2×8.5×0.2×10-2/15×（0.5×0.3+0.2×10-2）×3.14×0.32 ×0.3=0.176（Pa s）
　　習1-4 上下平行的兩個圓盤，直徑均為d，間隙厚度為δ，間隙中充滿動力黏度為μ的液體。若下盤固定，上盤圍繞軸心以角速度ω旋轉，求轉動圓盤所需的力矩M 和功率N 。解：上圓盤不同半徑處的線速度不一樣，因而液體層法線方向的速度梯度不一樣，導致上圓盤不同半徑處的微元旋轉力矩不同。整個上圓盤的轉動力矩需要沿圓盤半徑進行積分才能得到。
　　上圓盤半徑r處的線速度為ωr，速度梯度為du/dy =ωr/δ ，摩擦切應力為τ=μdu/dy =μωr/δ 。上圓盤半徑r 至r+dr 處的微元轉動力矩為dM =τ 2πrdr r =μω δ2πr3dr
　　所以，轉動整個圓盤所需的力矩為M =∫dM =∫R0/μω δ2πr3dr =μω δ2πR4/4 =μω δπR4/2 = πμωd4/32δ
　　功率為N = Mω = πμω2d4/32δ 。
　　習1-5圖
　　習1-5 如圖所示，利用液體摩擦傳遞扭矩M 的摩擦盤直徑為d？間隙為δ，摩擦盤間液體的動力黏度為μ，主動軸與從動軸的旋轉角速度分別為ω1 和ω2.ω1-ω2 稱為摩擦盤的滑移角速度。
　　（1）試求用M ，d，δ，μ表示的滑移角速度公式
　　（2）如果ω1-ω2 =44rad/s，d=200mm，δ =0.13mm，μ =0.14Pa s，試求傳遞扭矩M 和功率N 的大小。
　　解：（1）求滑移角速度公式。
　　取半徑r 處寬度dr 的微元環(huán)間液體進行分析。處在兩個圓盤間的這個微元圓環(huán)形的液體都在繞軸線旋轉，上盤表面處的切向圓周速度為ω1r，下盤面對應處的切向圓周速度為ω2r，兩盤之間存在著的速度差為（ω1-ω2）r，于是兩盤之間微元圓環(huán)形液體層的速度梯度為（ω1 -ω2）r/δ。
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