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跨越千年的數(shù)學(xué)

1960 年，諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)獲得者尤金?維格納發(fā)表了名為《數(shù)學(xué)在自然科學(xué)中不合理的有效性》的文章。這篇文章立足于很廣泛的學(xué)科背景，為其他科學(xué)家解答了不少疑問(wèn)。哪怕是60多年后的今天，他的許多觀(guān)點(diǎn)都為人所津津樂(lè)道。
隨著人類(lèi)生產(chǎn)生活實(shí)踐的飛速發(fā)展，數(shù)學(xué)也在經(jīng)歷著驚人的蛻變。幾百年前，數(shù)學(xué)家普遍還認(rèn)為自己是在探求客觀(guān)世界的真理。在公元前3 世紀(jì)誕生的極具影響力的歐幾里得著作《幾何原本》，就刻畫(huà)了我們現(xiàn)在所熟知的歐氏幾何，或者叫平面幾何�！稁缀卧�本》中的公理，即書(shū)中那套理論框架所基于的最原初的假設(shè)，是依據(jù)人們所認(rèn)為的、能夠用于準(zhǔn)確地反映現(xiàn)實(shí)世界中物體運(yùn)行規(guī)律的原則而挑選出來(lái)的。無(wú)獨(dú)有偶，牛頓當(dāng)時(shí)創(chuàng)建微積分理論的初衷，也是為了將他的物理學(xué)建立在堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)之上；而微積分的運(yùn)算法則又基于牛頓本人對(duì)真實(shí)世界中物體運(yùn)動(dòng)的感知。
然而，今天的數(shù)學(xué)家不再堅(jiān)定地篤信他們的公理基礎(chǔ)是正確的了。對(duì)于一組給定的公理體系，他們對(duì)其背后可能蘊(yùn)含的深刻理論更感興趣，而不論公理本身是否一定成立。歐氏幾何本質(zhì)上就是從這樣一組公理體系中孕育出來(lái)的；而對(duì)于兩條平行“直線(xiàn)”看上去會(huì)互相背離對(duì)方遠(yuǎn)去的雙曲幾何而言，它們存在的背后又是另一套不太一樣的公理假設(shè)。從某種意義上說(shuō)，數(shù)學(xué)成了一個(gè)思想實(shí)驗(yàn)的集合體，成了從假設(shè)出發(fā)不斷延長(zhǎng)的推理鏈條；而這些假設(shè)在任何真實(shí)世界的背景之下是否真的成立還是一個(gè)未知數(shù)，甚至并不重要。數(shù)學(xué)演變成了一種抽象的藝術(shù)形式，開(kāi)始形成一種內(nèi)在的審美價(jià)值。
“看似脫離實(shí)際”的數(shù)學(xué)如今依然是科學(xué)實(shí)踐中強(qiáng)有力的工具，這是一個(gè)奇跡，因?yàn)榭茖W(xué)本身是為驗(yàn)證真實(shí)世界中的假設(shè)而服務(wù)的。但是數(shù)學(xué)模型和統(tǒng)計(jì)分析等手段在其他科學(xué)領(lǐng)域中的重要性的確在顯而易見(jiàn)地凸顯。
在這本書(shū)中，我們著重呈現(xiàn)了《科學(xué)美國(guó)人》雜志自千禧年以來(lái)發(fā)表的一些數(shù)學(xué)瑰寶。在第1 章中，我們收錄了幾篇關(guān)于在過(guò)去幾十年間基礎(chǔ)數(shù)學(xué)領(lǐng)域中最重大成果的文章，它們是純數(shù)學(xué)理論研究的前沿之作。在第2 章中，我們探索了數(shù)學(xué)與生命，描述了數(shù)學(xué)建模是如何幫助科學(xué)家理解生物學(xué)的。第3章則講述了數(shù)學(xué)如何為物理學(xué)服務(wù)。這兩個(gè)領(lǐng)域數(shù)千年以來(lái)就互相糾纏在一起，直至今天也一直持續(xù)地相互促進(jìn)和發(fā)展。第4 章探討了數(shù)學(xué)在人與人相互聯(lián)系的社會(huì)文化中所扮演的角色，話(huà)題涵蓋了政治、藝術(shù)、密碼的保護(hù)與破解等。
盡管數(shù)學(xué)在用模型刻畫(huà)世界和精確計(jì)算上不斷創(chuàng)造著愈加強(qiáng)大的工具，我們也必須考慮到數(shù)學(xué)所存在的固有局限性。在第5 章中，我們將帶來(lái)一篇深藏在數(shù)學(xué)寶庫(kù)之中的佳作，那就
是1956 年庫(kù)爾特?哥德?tīng)栮P(guān)于不完備定理的顛覆性探索。他深刻地證明了，不論我們選取怎樣的公理體系，也不論我們從公理體系出發(fā)進(jìn)行多么深入的研究，總存在一些數(shù)學(xué)永遠(yuǎn)沒(méi)法回答的問(wèn)題。從那一刻起，數(shù)學(xué)再一次進(jìn)化了——數(shù)學(xué)家開(kāi)始進(jìn)一步努力，不斷地探求這門(mén)學(xué)科的局限性，試圖界定人類(lèi)認(rèn)知的邊界究竟在何處。