凸分析的主要研究對象是歐氏空間中的凸集合和凸函數(shù)，以錐、次微分和對偶理論為核心, 建立了優(yōu)化問題的最優(yōu)性條件，并構(gòu)建了現(xiàn)代非光滑和變分分析的基礎(chǔ). 本書共分三章：第 1 章主要介紹相關(guān)的基本概念和工具，包括歐氏空間、拓展實值函數(shù)、函數(shù)半連續(xù)性、包算子、仿射映射等；第 2 章聚焦于凸集和凸錐以及各自誘導(dǎo)的包算子，主要內(nèi)容包括凸包、相對拓撲、錐近似、投影、Moreau 分解和分離定理等；第 3 章聚焦于凸函數(shù)，主要內(nèi)容包括凸函數(shù)的仿射下界、Moreau 包絡(luò)、連續(xù)性、對偶理論、次微分等.
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擔(dān)任《Mathematical Programming Computation》、《Journal of Computational Mathematics》、《Asia-Pasific Journal of Operations Research》、《運籌學(xué)學(xué)報》等國內(nèi)外期刊編委，《物理學(xué)報》特約欄目編輯；中國運籌學(xué)會常務(wù)理事、科普工作委員會主任；中國工業(yè)與應(yīng)用數(shù)學(xué)會副秘書長；中國青年科技工作者協(xié)會理事。
目錄
“現(xiàn)代數(shù)學(xué)基礎(chǔ)叢書”序
前言
第1章 預(yù)備知識 1
1.1 歐氏空間 1
1.1.1 歐氏矩陣空間 3
1.1.2 歐氏空間中的導(dǎo)數(shù) 4
1.2 拓展實值函數(shù) 6
1.2.1 拓展的算術(shù)運算與拓展實值函數(shù) 7
1.2.2 函數(shù)的下半連續(xù)性 8
1.2.3 優(yōu)化問題及其解的存在性 10
1.3 包算子 11
1.4 仿射集與仿射映射 12
習(xí)題 1 18
第2章 凸集與凸錐 20
2.1 凸集及其基本性質(zhì) 20
2.2 凸包 21
2.3 凸集的拓撲性質(zhì) 22
2.4 錐與凸集的錐近似 28
2.4.1 凸錐與錐包 28
2.4.2 切錐與法錐 32
2.4.3 地平錐與回收錐 35
2.5 到閉凸集上的投影 37
2.6 凸集的分離 40
2.7 分離定理的第一結(jié)果 44
2.7.1 閉凸集的包絡(luò)表示 44
2.7.2 Farkas 引理與 KKT 條件 45
2.7.3 Minkowski 定理 47
習(xí)題 2 48
第3章 凸函數(shù) 50
3.1 凸函數(shù)的定義及基本性質(zhì) 50
3.1.1 保凸運算 53
3.1.2 可微凸函數(shù) 54
3.2 極小化問題與凸性 58
3.2.1 一般的存在性結(jié)果 59
3.2.2 凸極小化問題 60
3.3 凸函數(shù)的仿射下界 62
3.4 凸函數(shù)的卷積下確界 64
3.5 凸函數(shù)的連續(xù)性 70
3.6 凸函數(shù)的共軛. .72
3.6.1 函數(shù)的仿射逼近和凸包 72
3.6.2 共軛的基本性質(zhì) 74
3.6.3 共軛的特殊情況 76
3.6.4 共軛的運算法則 82
3.7 Fenchel-Rockafellar 對偶. 86
3.8 凸函數(shù)的次微分 89
3.8.1 定義與基本性質(zhì) 89
3.8.2 與方向?qū)?shù)的聯(lián)系 93
3.8.3 可微函數(shù)的次微分 96
3.8.4 次微分的運算法則 98
習(xí)題 3 103
參考文獻 106
“現(xiàn)代數(shù)學(xué)基礎(chǔ)叢書” 已出版書目 108
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