《河南省專升本考試考點精要·高等數(shù)學》包含河南省普通高校�？茟獙卯厴I(yè)生進入本科階段學習招生考試要求的高等數(shù)學科目的基本內容。本書結合河南省專升本考試范圍、試卷評分、重難點知識以及近15年考試試題, 由中公教育河南專升本考試研究院精心編寫。本書共包含八章內容: 第一章為函數(shù)、極限、連續(xù), 主要講解函數(shù)、極限、連續(xù)的定義、運算及其基本性質; 第二章為一元函數(shù)微分學, 主要講解導數(shù)與微分的概念、性質及其計算, 微分中值定理, 導數(shù)的應用; 第三章為一元函數(shù)積分學, 主要講解原函數(shù)的概念, 不定積分的計算。
河南省專升本考試考點精要·高等數(shù)學
章函數(shù)、極限與連續(xù)
章函數(shù)、極限與連續(xù)
考情綜述
考試大綱
1.函數(shù)
（1）函數(shù)的概念；（2）函數(shù)的性質；（3）函數(shù)的運算；（4）初等函數(shù)
2.極限
（1）極限的概念；（2）極限的性質；（3）無窮小量與無窮大量；（4）兩個重要極限
3.連續(xù)
（1）函數(shù)的連續(xù)性；（2）函數(shù)的間斷點；（3）閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質
重難點
重點
1.函數(shù)的定義域、函數(shù)的表示法；
2.函數(shù)的奇偶性；
3.反函數(shù)；
4.兩個重要極限；
5.函數(shù)的間斷點；
6.分段函數(shù)的連續(xù)性
難點
1.無窮小的比較、等價無窮小替換；
2.零點定理
真題分布
年份
知識點
占比
2022函數(shù)的奇偶性、反函數(shù)、函數(shù)極限、等價無窮小替換、“抓大頭”法求極限、根式有理化法求極限、分段函數(shù)的連續(xù)性、分段函數(shù)的間斷點10%
2021函數(shù)的奇偶性、無窮大量、消公因式法求極限、等價無窮小替換、重要極限、極限等式求參數(shù)、函數(shù)的連續(xù)、間斷點的類型16%
2020
函數(shù)的定義域、奇偶性、函數(shù)的表達式、函數(shù)極限、數(shù)列極限、無窮小的比較、兩個重要極限、極限存在與連續(xù)的關系
18%
2019函數(shù)的定義域、奇偶性、函數(shù)的表達式、反函數(shù)、等價無窮小、間斷點的類型、兩個重要極限、無窮小的比較、分段函數(shù)的間斷點、函數(shù)的連續(xù)15%
2018函數(shù)的定義域、奇偶性、函數(shù)的表達式、函數(shù)極限、兩個重要極限、間斷點的類型、無窮小的比較、無窮小量的性質、等價無窮小、函數(shù)的連續(xù)17%
真題分布
年份
知識點
占比
2017函數(shù)的定義域、奇偶性、函數(shù)的表達式、函數(shù)極限、數(shù)列極限、無窮小的比較、兩個重要極限、極限存在與連續(xù)的關系19%
2016函數(shù)的定義域、奇偶性、函數(shù)的表達式、反函數(shù)、函數(shù)極限、數(shù)列極限、等價無窮小、分段函數(shù)的連續(xù)性、間斷點的類型18%
考點精析
知識框架
基礎知識精講
一、函數(shù)
（一）函數(shù)的概念及表示法
1.定義
設x與y是兩個變量，D是實數(shù)集R的某個非空子集，若對于D中的每一個x，按照對應法則f，總有唯一確定的值y與之對應，則稱因變量y為自變量x的函數(shù)，記作y=f（x）。這里的D稱為函數(shù)f的定義域，相應的函數(shù)值的全體所構成的集合稱為函數(shù)f的值域。
【注】
①函數(shù)是從實數(shù)集到實數(shù)集的映射，它包括兩大要素：定義域和對應法則。
②函數(shù)和變量的選取無關，只要定義域和對應法則相同，不管用什么變量表示函數(shù)的自變量和因變量，函數(shù)都是一樣的。例如：y=x2,x∈［0,1］和u=t2,t∈［0,1］表示同一函數(shù)。
2.表示法
表示函數(shù)的主要方法有三種：解析法（公式法）、表格法、圖形法。
（1）解析法（公式法）：用數(shù)學式表示自變量和因變量對應關系的方法。
（2）表格法：將一系列的自變量值與對應的函數(shù)值列成表來表示函數(shù)關系的方法。
（3）圖形法：用坐標平面上的點集{P（x,y）y=f（x）,x∈D}來表示函數(shù)的方法。
（二）函數(shù)的性質
1.有界性
設函數(shù)f（x）的定義域為D，數(shù)集XD。如果存在正數(shù)M，使得對于任一x∈X，都有f（x）≤M，則稱f（x）在X上有界。如果這樣的M不存在，則稱f（x）在X上無界。
【注】
①函數(shù)的有界性也可以通過上、下界的方式來定義：如果存在實數(shù)m和M，使得對任一x∈X，都有m≤f（x）≤M，則稱函數(shù)f（x）在X上有界。其中m和M分別稱為函數(shù)f（x）在X上的下界和上界。
②在上述定義中，m（M）是函數(shù)f（x）在X上的下（上）界，則任何比m�。ū萂大）的數(shù)，都是f（x）在X上的下（上）界。上界、下界不唯一。
③函數(shù)在X上有界的充要條件是它在X上既有上界又有下界。
2.單調性
設函數(shù)f（x）的定義域為D，區(qū)間ID。如果對于區(qū)間I上任意兩點x1，x2，當x1＜x2時，恒有
f（x1）＜f（x2）（或f（x1）＞f（x2）），
則稱函數(shù)f（x）在區(qū)間I上單調增加（或單調減少）。
單調增加和單調減少的函數(shù)統(tǒng)稱為單調函數(shù)。
（1）單調性的性質：
①如果f1（x）,f2（x）都是增函數(shù)（或減函數(shù)），則f1（x）+f2（x）也是增函數(shù)（或減函數(shù)）。
②設f（x）是增函數(shù)，如果常數(shù)C＞0，則C·f（x）是增函數(shù)；如果常數(shù)C＜0，則C·f（x）是減函數(shù)。
③如果函數(shù)y=f（u）與函數(shù)u=g（x）增減性相同，則函數(shù)y=f［g（x）］為增函數(shù)；如果函數(shù)y=f（u）與函數(shù)u=g（x）增減性相反，則函數(shù)y=f［g（x）］為減函數(shù)。
（2）常見函數(shù)的單調區(qū)間：
常見函數(shù)
單調增區(qū)間
單調減區(qū)間
y=x2+ax+b
- a2,+∞
-∞,- a2
y=ex
（-∞,+∞）
無
y=lnx
（0,+∞）
無
y=sinx
2kπ- π2,2kπ+ π2
2kπ+ π2,2kπ+ 3π2
y=cosx
［2kπ-π,2kπ］
［2kπ,2kπ+π］
y=1x
無
（-∞,0），（0,+∞）
3.奇偶性
設函數(shù)f（x）的定義域D關于原點對稱。如果對于任一x∈D，都有f（-x）=f（x），則稱f（x）為偶函數(shù)；如果對于任一x∈D，都有f（-x）=-f（x），則稱f（x）為奇函數(shù)。
（1）奇、偶函數(shù)的性質：
①偶函數(shù)的圖像關于y軸對稱，奇函數(shù)的圖像關于原點對稱。
②如果f1（x）和f2（x）都是偶函數(shù)（或奇函數(shù)），則對任意的常數(shù)k1,k2∈R，k1 f1（x）+k2 f2（x）仍是偶函數(shù)（或奇函數(shù)）。
③如果f1（x）和f2（x）的奇偶性相同，則f1（x）·f2（x）為偶函數(shù)；如果f1（x）和f2（x）的奇偶性相反，則f1（x）·f2（x）為奇函數(shù)。
（2）常見的偶函數(shù)：
y=x2k（k∈Z），y=cosx，y=x，
f（x），f（x）+f（-x）2， f（x）·f（-x），其中f（x）是定義在關于原點對稱的區(qū)間上的任意函數(shù)。
（3）常見的奇函數(shù)：
y=x2k+1（k∈Z），y=sinx，y=tanx，y=cotx，y=ln（1+x2±x），
f（x）-f（-x）2，其中f（x）是定義在關于原點對稱的區(qū)間上的任意函數(shù)。
4.周期性
設函數(shù)f（x）的定義域為D，如果存在一個正數(shù)T，使得對任一x∈D有x±T∈D，且f（x+T）=f（x）恒成立，則稱f（x）為周期函數(shù)，T稱為f（x）的周期。一般周期函數(shù)的周期是指小正周期。
【注】
①如果f（x）以T為小正周期，則對任意的非零常數(shù)C，Cf（x）仍然以T為小正周期， f（Cx）以TC為小正周期。
②如果f1（x）和f2（x）都以T為周期，則對于任意的常數(shù)k1,k2∈R，k1f1（x）+k2f2（x）仍然以T為周期。注意這時小正周期有可能縮小，如f1（x）=cos2x+sinx,f2（x）=sinx都以2π為小正周期，但f1（x）-f2（x）=cos2x以π為小正周期。
（三）函數(shù)的運算
1.四則運算
設函數(shù)f（x）和g（x）的定義域分別為D1和D2，且D=D1∩D2≠，則這兩個函數(shù)經過四則運算之后能形成新的函數(shù)：
和（差）運算：f（x）±g（x），x∈D；
積運算：f（x）·g（x），x∈D；
商運算：f（x）g（x），x∈D＼{xg（x）=0,x∈D}。
2.復合函數(shù)
設函數(shù)y=f（u）的定義域為D1，函數(shù)u=g（x）的定義域為D2。如果g（x）的值域g（D2）包含于f（u）的定義域D1，則可以定義函數(shù)y=f［g（x）］，x∈D2為函數(shù)f（u）與g（x）的復合函數(shù)，記作y=f［g（x）］或fg。
【注】
①復合函數(shù)的基本思想是把y=f（x）,x∈D1中的x進行推廣，變成一個新的函數(shù)，這是我們認識和理解函數(shù)的基本方式。
②注意能夠進行復合的前提條件是g（x）的值域g（D2）包含于f（u）的定義域D1。如果該條件不滿足，只要g（x）的值域g（D2）和f（u）的定義域D1的交集不是空集，復合運算也可以進行，只不過此時復合之后函數(shù)的定義域變成了{xx∈D2且g（x）∈D1}。
3.反函數(shù)
設函數(shù)y=f（x）的定義域為D，其值域為f（D）。如果對于每一個y∈f（D），都有唯一確定的x∈D，使得y=f（x）（我們將該對應法則記作f -1）成立，則這個定義在f（D）上的函數(shù)x=f -1（y）就稱為函數(shù)y=f（x）的反函數(shù)。
【注】
①不是所有的函數(shù)都有反函數(shù)。函數(shù)y=f（x）,x∈D存在反函數(shù)的充要條件是對于定義域D中任意兩個不相等的自變量x1,x2，有f（x1）≠f（x2）。一般來說，嚴格單調的函數(shù)一定有反函數(shù)。
②在同一坐標平面上，函數(shù)y=f（x）與其反函數(shù)y=f-1（x）的圖像關于直線y=x對稱。
（四）常見的函數(shù)類型
1.初等函數(shù)
（1）常用的基本初等函數(shù)有五類：指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、三角函數(shù)及反三角函數(shù)。
函數(shù)
名稱函數(shù)的記號函數(shù)的圖像函數(shù)的性質
指數(shù)
函數(shù)y=ax（a＞0，a≠1）a）不論x為何值，y總為正數(shù);
b）當x=0時，y=1
對數(shù)
函數(shù)y=logax（a＞0，a≠1）a）其圖像總位于y軸右側，恒過（1，0）點；
b）當a＞1時，函數(shù)y=logax在區(qū)間（0，1）的值為負，在區(qū)間（1，+∞）的值為正，在定義域內單調遞增
冪函數(shù)y=xa，a為任意實數(shù)
這里只畫出部分函數(shù)圖像的
象限部分 令a=mn（mn是簡分數(shù)），則
a）當m為偶數(shù)、n為奇數(shù)時，xa是偶函數(shù);
b）當m，n都是奇數(shù)時，xa是奇函數(shù)；
c）當m為奇數(shù)、n為偶數(shù)時，xa沒有奇偶性
三角
函數(shù)y=sinx（正弦函數(shù)）
這里只寫出了正弦函數(shù) a）正弦函數(shù)是以2π為周期的函數(shù)；
b）正弦函數(shù)是奇函數(shù)且sinx≤1
反三角
函數(shù)y=arcsinx（反正弦函數(shù)）
這里只寫出了反正弦函數(shù)由于此對應法則確定了一個多值函數(shù)，因此將此值域限制在- π2，π2，并稱其為反正弦函數(shù)的主值
（2）初等函數(shù)：由常數(shù)和基本初等函數(shù)經過有限次的四則運算和有限次的函數(shù)復合步驟所構成并可用一個式子表示的函數(shù)。
2.分段函數(shù)
（1）分段函數(shù)的基本形式：
f（x）=f1（x），x∈I1，f2（x），x∈I2，
fn（x），x∈In。
（2）隱含的分段函數(shù)：
①絕對值函數(shù)：
f（x）=x=x，x≥0，-x，x＜0，
其定義域是（-∞，+∞），值域是［0，+∞）。
②取整函數(shù)：f（x）=［x］表示不超過x的大整數(shù)。
③大值、小值函數(shù)：y=max{f（x），g（x）}，y=min{f（x），g（x）}。
3.隱函數(shù)
如果變量x和y滿足方程F（x,y）=0，當x取區(qū)間I內的任一值時，相應地總有滿足該方程的唯一的y值存在，則這樣確定的函數(shù)關系y=y（x）稱為由方程F（x,y）=0確定的隱函數(shù)。
4.由參數(shù)方程定義的函數(shù)
若參數(shù)方程x=φ（t），y=ψ（t），α≤t≤β
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