音樂(lè)中充滿了數(shù)學(xué)元素，例如巴赫的作品就被認(rèn)為包含著一種數(shù)學(xué)邏輯，偉大的作曲家伊戈?duì)?middot;斯特拉文斯基也曾經(jīng)說(shuō)過(guò)：“音樂(lè)這種形式和數(shù)學(xué)較為接近——也許不是和數(shù)學(xué)本身相關(guān)，但肯定與數(shù)學(xué)思維和關(guān)系式有關(guān)�！痹诖嘶A(chǔ)上，阿諾德·勛伯格則更進(jìn)一步，完全依照數(shù)學(xué)原理進(jìn)行創(chuàng)作。
對(duì)此，作者阿里·馬奧爾持保留意見(jiàn)。在他看來(lái)，音樂(lè)對(duì)數(shù)學(xué)造成的影響，不亞于數(shù)學(xué)對(duì)音樂(lè)的影響。在本書(shū)中，作者試圖從歷史的角度來(lái)審視音樂(lè)和數(shù)學(xué)之間的親密關(guān)系。其中妙趣橫生的人物逸事與縝密?chē)?yán)謹(jǐn)?shù)臉?lè)理、數(shù)學(xué)知識(shí)交織在一起，引導(dǎo)讀者從全新的角度進(jìn)入音樂(lè)和數(shù)學(xué)這兩個(gè)既熟悉又陌生的領(lǐng)域，縱覽音樂(lè)和數(shù)學(xué)幾千年來(lái)的發(fā)展脈絡(luò)。
音樂(lè)是許多數(shù)學(xué)家的靈感源泉
數(shù)學(xué)也深度影響著音樂(lè)的技術(shù)層面
但不是所有的數(shù)學(xué)家都懂得欣賞音樂(lè)之美
也不是所有的音樂(lè)家都理解音樂(lè)中隱含的數(shù)學(xué)原理
² 打破學(xué)科壁壘，跨越認(rèn)知邊界
² 在歷史和人類(lèi)感受的穿針引線下，洞悉數(shù)學(xué)與音樂(lè)、科學(xué)與藝術(shù)的復(fù)雜交互
我在一個(gè)熱愛(ài)歐洲文化——文學(xué)、藝術(shù)和音樂(lè)的家庭中長(zhǎng)大。我的父母都沒(méi)有受過(guò)音樂(lè)訓(xùn)練，但是，我的母親是一位藝術(shù)家，她非常熱愛(ài)莫扎特；每當(dāng)她坐在桌旁，描繪那些美麗的花朵時(shí)，她總會(huì)把收音機(jī)調(diào)到古典音樂(lè)頻道。因此，莫扎特和他的音樂(lè)，以及母親告訴我的關(guān)于他的許多故事，都成為我童年生活的一部分。有一天，她帶我去看一部講述莫扎特生平的電影。那時(shí)，距離彼得·謝弗（Peter Shaffer）虛構(gòu)的《阿馬德烏斯》（Amadeus）成為頭條新聞，還有幾十年的時(shí)間。我記得，當(dāng)看到莫扎特處于彌留之際，仍在病榻上向他的弟子蘇斯邁爾（Süssmayr）口授那部未完成的《安魂曲》（Requiem）時(shí)，我不禁為他人生中的這最后一幕潸然淚下。
但是，使我對(duì)科學(xué)和音樂(lè)保持終生熱愛(ài)的實(shí)際上是我的外祖父。1938年，由于納粹的嚴(yán)酷統(tǒng)治，猶太人的生活難以為繼，他和我的外祖母離開(kāi)德國(guó)，前往以色列（接著又到了巴勒斯坦）。我有一張他的照片（參見(jiàn)寫(xiě)有獻(xiàn)辭的那一頁(yè)），當(dāng)時(shí)我大約五歲，照片中他正為我演奏小提琴。在這張由我母親拍攝的照片背面，她寫(xiě)上了那首外祖父為我演奏的歌曲的名字——《可愛(ài)的月亮，你走得如此安詳》（Guter Mond, du gehst so stille），這是一首傳統(tǒng)的德國(guó)搖籃曲。那成為我人生中的第一場(chǎng)現(xiàn)場(chǎng)演出，時(shí)至今日，往昔的情景依舊歷歷在目。直到有一天，外祖父告訴我說(shuō)他必須和小提琴說(shuō)再見(jiàn)了——他迫切地需要錢(qián)。頃刻，我淚流滿面。
另外，我還有一本外祖父在中學(xué)（高中）學(xué)習(xí)時(shí)用過(guò)的物理書(shū)。這本書(shū)于1897年出版，附有數(shù)百幅精美的插圖；更重要的是，它報(bào)道了物理學(xué)的最新進(jìn)展，包括X射線［當(dāng)時(shí)被稱(chēng)為“倫琴射線”（Röntgen rays）］的發(fā)現(xiàn)及其對(duì)醫(yī)學(xué)的潛在益處。他肯定非常認(rèn)真地研讀過(guò)這本書(shū)，因?yàn)閹缀趺恳豁?yè)都有他手寫(xiě)的注釋。我們會(huì)一起坐上好幾個(gè)小時(shí)，他向我解釋各種各樣的東西，這是我接受的最早的科學(xué)啟蒙。我至今還保存著這本書(shū)，并視若珍寶（參見(jiàn)圖P.1）。
20世紀(jì)40年代，戰(zhàn)爭(zhēng)的陰云籠罩著世界，但我的父母仍偶爾在位于特拉維夫的家中播放古典音樂(lè)來(lái)款待客人。他們用一個(gè)機(jī)械轉(zhuǎn)盤(pán)，也就是留聲機(jī)，來(lái)播放黑膠唱片，錄音規(guī)格為78轉(zhuǎn)/分。我是多么喜歡這些時(shí)光�。×袈暀C(jī)必須使用一個(gè)較大的曲柄，也就是通常所說(shuō)的“曼努埃拉”（manuela），需要用手將它搖上一陣，才能讓留聲機(jī)轉(zhuǎn)上大約10分鐘，這點(diǎn)時(shí)間剛好夠播完唱片的兩個(gè)面。如果你沒(méi)有及時(shí)上足發(fā)條，轉(zhuǎn)盤(pán)就會(huì)慢下來(lái)，而音樂(lè)的節(jié)奏隨之減緩，音高降低。一首時(shí)長(zhǎng)40分鐘的貝多芬的交響曲需要五六張此類(lèi)唱片，它們一般被存放在一本看上去像老式相冊(cè)（album）的夾子里（現(xiàn)在常用來(lái)指代歌曲專(zhuān)輯的“album”一詞可能就來(lái)源于這種老式唱片冊(cè)）。每本唱片冊(cè)都像上千頁(yè)的微積分教科書(shū)那么重！切記，切記！千萬(wàn)不要讓哪張唱片從夾子里滑出來(lái)，它會(huì)在地板上跌成碎片。但是，播放唱片時(shí)，唱針才是最需要關(guān)注的。每播放十幾個(gè)小時(shí)，就應(yīng)該更換一下唱針，否則它會(huì)變鈍，并損傷唱片的音槽。唱針由鉻制成，而在戰(zhàn)爭(zhēng)期間，鉻的供應(yīng)受到嚴(yán)格限制。不過(guò)好在很快，替代品——木制唱針就出現(xiàn)了！不消說(shuō)（此處不含有任何雙關(guān)意義），木制唱針播放出來(lái)的聲音異常沙啞，但正是這種聲音帶給我古典音樂(lè)的啟蒙。
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“每個(gè)聰明的音樂(lè)家都應(yīng)該熟悉他的藝術(shù)背后所隱含的物理定律�！笨死瓊愃�·G. 漢密爾頓（Clarence G. Hamilton）在他那本于1912年出版的迷人小冊(cè)子《聲音及其與音樂(lè)的關(guān)系》（Sound and Its Relation to Music）中寫(xiě)道。如果我們能暫時(shí)忽略他那些言論中略微夸大其詞的成分（注意，盡管他說(shuō)出的那句話只針對(duì)男性音樂(lè)家，但也的確符合當(dāng)時(shí)的社會(huì)規(guī)范），事實(shí)也的確如此，僅有很少的古典作曲家在他們的職業(yè)生涯中曾與數(shù)學(xué)或物理打過(guò)交道。在這為數(shù)不多的人中，有兩個(gè)名字脫穎而出：一位是讓-菲利普·拉莫（Jean-Philippe Rameau，1683—1764），他寫(xiě)了一篇流傳頗廣的關(guān)于聲學(xué)的論文；另一位是朱塞佩·塔蒂尼（Giuseppe Tartini，1692—1770），此人發(fā)現(xiàn)了如今所謂的混合音（combination tones，參見(jiàn)第五章）。在我們的時(shí)代也出現(xiàn)了某些改變，幾位作曲家將他們的音樂(lè)建立在數(shù)學(xué)定律之上，都取得了不同程度的成功。他們中的佼佼者就是勛伯格，他的系列作品會(huì)在第九、十章中被詳細(xì)介紹。此外，我還要提到伊阿尼斯·澤納基斯（Iannis Xenakis，1922—2001）和卡爾海因茨·施托克豪森（Karlheinz Stockhausen，1928—2007）。前者在改行做音樂(lè)前，曾接受土木工程師和建筑師的專(zhuān)業(yè)訓(xùn)練，他在自己的音樂(lè)作品中用到了隨機(jī)理論（stochastic principles）；整體看來(lái)，他的曲譜充斥著扭曲的圖形和線條，而不是那種傳統(tǒng)樂(lè)譜里的音符和五線譜。在最初的一段時(shí)間里，他們的作品受到了富有先鋒主義精神的聽(tīng)眾的熱烈歡迎。但是，這些作品能否被古典音樂(lè)的主流接納，尚待觀察。
數(shù)學(xué)和音樂(lè)，這兩個(gè)領(lǐng)域擁有如此多的相似之處，但彼此之間又保持著一定的距離。本書(shū)所講的，正是關(guān)于這種相互關(guān)系的故事。這絕不是一本想對(duì)此做全面歷史回顧的書(shū)，也不是一本關(guān)于音樂(lè)的數(shù)學(xué)物理教程，這類(lèi)教材已經(jīng)有很多優(yōu)秀的代表。相反，我想做的只是從歷史的角度來(lái)審視一下音樂(lè)和數(shù)學(xué)之間的親密關(guān)系，著眼于那些真實(shí)發(fā)生過(guò)的事情，以及故事背后的人物——那些科學(xué)家、發(fā)明家、作曲家，以及偶爾出現(xiàn)的怪人。盡管在某些事情上，一些讀者可能會(huì)提出反對(duì)意見(jiàn)，但是，我并不因此而羞于表達(dá)自己的觀點(diǎn)，例如通常與音樂(lè)聲調(diào)的設(shè)定相關(guān)的情感屬性。在我看來(lái)，它們有些被過(guò)度夸大了。本書(shū)適合那些對(duì)數(shù)學(xué)、音樂(lè)和科學(xué)感興趣的普通讀者，書(shū)中沒(méi)有任何超出高中代數(shù)和三角學(xué)的數(shù)學(xué)要求。但是，如果讀者具備音樂(lè)符號(hào)的基本知識(shí)的話，會(huì)比較有助于閱讀。
然而，最后需要指出，所有將數(shù)學(xué)與音樂(lè)聯(lián)系在一起的嘗試，實(shí)質(zhì)上都是受到限制的，因?yàn)檫@兩個(gè)領(lǐng)域的目標(biāo)相互矛盾：數(shù)學(xué)，以及更廣泛意義上的科學(xué)，其目標(biāo)是激發(fā)我們的智慧和以客觀、邏輯的方式分析抽象模式及關(guān)系的能力；而音樂(lè)，則致力于觸摸我們的心靈，喚醒我們對(duì)聲音、節(jié)奏、時(shí)間和聽(tīng)覺(jué)模式的情感反應(yīng)。在這里，讓我們借用亞利桑那州鳳凰城樂(lè)器博物館（Musical Instrument Museum，簡(jiǎn)稱(chēng)MIM）的一句迎客辭：“音樂(lè)是靈魂的語(yǔ)言（Music is the language of the soul）�！�
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任何像這樣的有關(guān)跨學(xué)科主題的討論，都難免會(huì)涉及幾個(gè)相鄰的領(lǐng)域。不言而喻，物理定律無(wú)論是在音樂(lè)領(lǐng)域，還是在天文領(lǐng)域都發(fā)揮著作用——從畢達(dá)哥拉斯信奉行星的軌道是由音樂(lè)般和諧的定律控制，一直到19世紀(jì)晚期，人們發(fā)現(xiàn)行星及其衛(wèi)星的運(yùn)行軌道間存在共振現(xiàn)象，并且這種共振通常具有常用的音樂(lè)音程比例（參見(jiàn)第十二章）。我們或許還要提及人們最近在星系之間的廣袤空間中所檢測(cè)到的聲波，它們具有特定的波長(zhǎng)和音高（參見(jiàn)附錄C），這也許反映了像古老寓言一樣的《宇宙音樂(lè)》（Music of the Spheres）的輪回。
無(wú)論如何，在數(shù)學(xué)和物理科學(xué)之間，甚至推廣到數(shù)學(xué)和人文科學(xué)之間，我們今天所劃出的森嚴(yán)界限并非前人的普遍做法。事實(shí)上，直至19世紀(jì)初期，經(jīng)典科學(xué)領(lǐng)域的大部分偉大人物都認(rèn)為自己既是數(shù)學(xué)家，又是哲學(xué)家、物理學(xué)家和自然科學(xué)家。他們?cè)谥T多學(xué)科中游刃有余，且一致認(rèn)為這些學(xué)科有助于理解大自然的運(yùn)行方式。在這份入選的學(xué)科名單中，自然也包括音樂(lè)。
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關(guān)于參考書(shū)目的說(shuō)明：為了避免重復(fù)，文本中提及并出現(xiàn)在參考書(shū)目中的書(shū)籍僅有作者的姓名和書(shū)名。我?guī)缀醪恍枰貏e說(shuō)明，所有與音樂(lè)有關(guān)的術(shù)語(yǔ)，以及諸多作曲家的生平等內(nèi)容，在巨細(xì)無(wú)遺的29卷本《新格羅夫音樂(lè)和音樂(lè)家詞典》（The New Grove Dictionary of Music and Musicians）［該書(shū)于2001年由麥克米倫公司（Macmillan）出版，可以通過(guò)www.oxfordmusiconline.com 在線查閱］中都有詳細(xì)記錄。在蘇格蘭的圣·安德魯斯大學(xué)的數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院（School of Mathematical and Computational Sciences, University of St Andrews）的網(wǎng)站（www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Indexes/HistoryTopics.html）上，可以找到許多數(shù)學(xué)家的優(yōu)秀傳記。
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