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第一篇 復變函數(shù)
第1 章 復數(shù)與復變函數(shù)..................... 3
1. 1 復數(shù)概念及其運算..................... 3
I. I. 1 復數(shù)概念…….................……. 3
I. 1. 2 復數(shù)的基本代數(shù)運算............... 4
1. 2 復數(shù)的表示.........….................. 4
I. 2. 1 復數(shù)的幾何表示..............…… ·4
1. 2. 2 復數(shù)的三角表示.......…........... 6
I. 2 3 復數(shù)的指數(shù)表示….................. 6
1.2.4 共輒復數(shù)…........….........…… ·7
1.2.5 復球面、元窮遠點........….......... 7
1. 3 復數(shù)的乘幕與方根…...... … 8
I. 3 1 復數(shù)的乘罪.......................…. 8
I. 3. 2 復數(shù)的方根..............….......... 9
I. 3. 3 實踐編程：正十七邊形的幾何作圖法.............................. 10
1. 4 區(qū)域…........……................... 11
I. 4 1 基本概念…......... …… 11
I. 4. 2 區(qū)域的判斷方法及實例分析…… 14
1. 5 復變函數(shù)........……………....... 14
I. 5 1 復變函數(shù)概念….................. 14
I. 5. 2 復變函數(shù)的兒何意義一一映射… 15
1. 6 復變函數(shù)的極限........……....... 16
I. 6. 1 復變函數(shù)極限概念.................. 16
I. 6. 2 復變函數(shù)極限的基本定理…… 17
1. 7 復變函數(shù)的連續(xù)........……....... 18
I. 7. 1 復變函數(shù)連續(xù)的概念............... 18
I. 7. 2 復變函數(shù)連續(xù)的基本定理…… 18
1. 8 典型綜合實例……...............… 19
小結..............…............................ 23
習題1 …........... ........ …… 25
計算機仿真編程實踐……...............… 26
第2 章 解析函數(shù)........................... 28
2. 1 復變函數(shù)導數(shù)與微分….…… 28
2 1 1 復變函數(shù)的導數(shù)…..............…. 28
2. 1. 2 復變函數(shù)的微分概念............... 30
2 1 3 可導的必要條件..................... 30
2. 1. 4 可導的充分必要條件............... 32
2 1 5 求導法則…… ........ …. 33
2. 1. 6 復變函數(shù)導數(shù)的幾何意義......... 34
2.2 解析函數(shù)……… ........ …. 35
2 2. 1 解析函數(shù)的概念……............... 35
2. 2. 2 解析函數(shù)的法則..................... 36
2.2.3 函數(shù)解析的充分必要條件......... 37
2.2.4 解析函數(shù)的幾何意義（映射的
保角性） ….......….............. 39
2.3 初等解析函數(shù)........................ 40
2. 3. 1 指數(shù)函數(shù)（單值函數(shù)） ............... 40
2. 3. 2 對數(shù)函數(shù)一一指數(shù)函數(shù)的
反函數(shù)（多值函數(shù)） .......…........ 41
2.3.3 三角函數(shù)（單值函數(shù)） ............... 43
2. 3.4 反三角函數(shù)（多值函數(shù)）…......... 45
2.3.5 雙曲函數(shù)（單值函數(shù)） ............... 46
2. 3. 6 反雙曲函數(shù)（多值函數(shù)）….…. 47
2.3. 7 整幕函數(shù)z＂（單值函數(shù)）…......... 47
2.3.8 一般辱函數(shù)與根式函數(shù)w=＇:fi
（多值函數(shù)）………............... 48
·2. 3. 9 多值函數(shù)的基本概念…… …. 49
2.4 解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關系…… 51
2.4. 1 調(diào)和函數(shù)與共輒調(diào)和函數(shù)的概念…........……................ 51
2.4.2 解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)之間的關系…........……................ 51
2.4.3 解析函數(shù)的構建方法…… …. 52
2.5 解析函數(shù)的物理意義平面矢量場………......... …. 53
2. 5. 1 用解析函數(shù)表述平面矢量場...... 53
2. 5. 2 靜電場的復勢..................... 54
2.6 典型綜合實例.............…........ 56
小結…·........... ........ …… 58
習題2 ................….............…....... 59
計算機仿真編程實踐......... …… ω
第3 章 復變函數(shù)的積分...............… 61
3. 1 復變函數(shù)積分及性質(zhì)….........… 61
3. 1. 1 復變函數(shù)積分的概念............... 61
3. 1. 2 復積分存在的條件及計算方法… 62
3. 1. 3 復積分的基本性質(zhì).................. 62
3. 1.4 復積分的計算典型實例.......….. 63
3. 1. s 復變函數(shù)環(huán)路積分的物理意義... 64
3.2 柯西積分定理及其應用.........… 65
3 2 1 柯西積分定理………….. 65
3.2.2 不定積分…........….........…. 66
3. 2 3 典型應用實例………….. 68
3. 2.4 柯西積分定理（柯西古薩定理）的物理意義.................. 68
3.3 基本定理的推廣一一復合閉路定理…................................. 69
3.4 柯西積分公式........................ 72
3. 4.1 有界區(qū)域的單連通柯西積分公式................….............. 72
3.4.2 有界區(qū)域的復連通柯西積分公式................................. 73
3.4.3 元界區(qū)域的柯西積分公式......... 74
3.5 柯西積分公式的幾個重要推論… 76
3. 5.1 解析函數(shù)的元限次可微性（高階導數(shù)公式）………… …… 76
3.5.2 解析函數(shù)的平均值公式…......... 78
3.5 3 柯西不等式......... …… 78
3.5.4 劉維爾定理........................ 79
3.5 s 莫勒納定理.......….............. 79
3.5.6 最大模原理.......….............. 79
3.5 7 代數(shù)基本定理….................. 80
3.6 典型綜合實例.............…........ 80
小結............................................. 85
習題3 …........... ........ …… 86
計算機仿真編程實踐………............... 88
第4 章 解析函數(shù)的冪級數(shù)表示…… 89
4. 1 復數(shù)項級數(shù)的基本概念…......... 89
4. 1 1 復數(shù)項級數(shù)概念….................. 89
4. I. 2 復數(shù)項級數(shù)的判斷準則和定理… 89
4.2 復變函數(shù)項級數(shù)..................... 91
4.3 冪級數(shù)................................. 93
4 3. 1 冪級數(shù)概念........….........…. 93
4. 3. 2 收斂圓與收斂半徑…… …. 94
4 3 3 收斂半徑的求法..................... 95
4.4 解析函數(shù)的泰勒級數(shù)展開式…… 98
4.4. 1 泰勒級數(shù)…........................ 98
4.4.2 將函數(shù)展開成泰勒級數(shù)的方法… 99
4.5 羅朗級數(shù)及展開方法............... 100
4. s. 1 羅朗級數(shù)…........…….......... 100
4. s. 2 羅朗級數(shù)展開方法實例......... 103
4.5.3 用級數(shù)展開法計算閉合環(huán)路積分..............…........….. 105
4.6 典型綜合實例.........…........…. 105
小結.........….............................. 108
習題4 ..................……........……. 110
計算機仿真編程實踐................….. 112
第5 章 留數(shù)定理………·…….. 113
5. 1 解析函數(shù)的孤立奇點............... 113
s. I. 1 孤立奇點概念.................…. 113
s. I. 2 孤立奇點的分類及其判斷定理…….......…………….. 113
5.2 解析函數(shù)在元窮遠點的性質(zhì)….. 117
5.3 留數(shù)概念........….......…......... 118
5.4 留數(shù)定理與留數(shù)和定理…......... 120
5.5 留數(shù)的計算方法..................... 121
s. s. 1 有限遠點留數(shù)的計算方法.….121
5.5.2 元窮遠點的留數(shù)計算方法......... 123
5.6 用留數(shù)定理計算實積分.........… 125 ,,.
5. 6. 1 / R( cos8 ,sin8) d8 型裂分…… 125
5 6 2 I 一一一出型積分….......….. 127
5.6.3 r:f(x）型積分..............…….......... 128
5.6.4 其他類型（積分路徑上有奇點）的識分計算舉例................….. 130
5. 7 典型綜合實例……… … ….. 132
小結.............….......................... 136
習題5 …..........…….........…........ 137
計算機仿真編程實踐……............... 139
第6 章 保角映射…........................ 140
6. 1 保角映射的概念……............... 140
6.2 分式線性映射........................ 141
6.2.1 分式線性映射的概念…......... 141
6.2.2 兩種基本映射……............... 142
6.2.3 分式線性映射的性質(zhì)........…. 143
6.2.4 分式線性映射的確定及應用…… 145
6.2.5 三類典型的分式結性映射......... 148
6.3 幾個初等畫數(shù)所構成的映射…… 150
6. 3. 1 幕函數(shù)映射........…........….. 150
6.3.2 指數(shù)函數(shù)w=e＇ 映射…………… 151
·6. 3. 3 儒可夫斯基函數(shù)映射.... ...….. 152
6.4 典型綜合實例........…….......… 153
小結.............………...............….. 156
習題6 .............…... .....…..... ..….. 157
計算機仿真編程實踐................….. 158
第一篇復變函數(shù)論全篇總結框圖…… 158
第一篇綜合測試題........................ 159

第二篇 數(shù)學物理方程
第7 章 數(shù)學建模一一散學物理定解問題........……................… 162
7. 1 數(shù)學建模一一波動方程類型的建立.................…................ 163
7. 1.1 被動方程的建立……………… 163
7. 1. 2 波動方程的定解條件…......... 169
7.2 數(shù)學建模一一熱傳導方程類型的建立.................…................ 171
7.2.1 數(shù)學物理方程一一熱傳導類型方程的建立…….......…………….. 171
7.2.2 熱傳導（或擴散）方程的定解條件…….......…………….. 174
7.3 數(shù)學建模一一穩(wěn)定場方程類型的建立.................................... 175
7. 3.1 穩(wěn)定場方程類型的建立......... 175
7.3.2 泊松方程和拉普拉斯方程的定解條件................…........ 176
7.4 數(shù)學物理定解理論…….......….. 177
7.4.1 定解條件和定解問題的提法…… 177
7.4.2 數(shù)學物理定解問題的適定性…… 178
7.4.3 數(shù)學物理定解問題的求解方法… 178
7.5 典型綜合實例........................ 178
小結…....................................... 181
習題7 ….................................... 181
計算機仿真編程實踐…….......…….. 182
第8 章 二階線性偏微分方程的分類..............…................ 183
8. 1 基本概念...............….......….. 183
8. 2 數(shù)學物理方程的分類……......... 184
8. 3 二階線性偏微分方程標準化…… 187
8.4 線性偏微分方程解的特征......... 190
8. 5 典型綜舍實例........................ 191
小結…..........………...............….. 192
習題8 ...................…................. 193
計算機仿真編程實踐……............... 193
第9 章 行波法與達朗貝爾公式......... 194
9.1 二階線性偏微分方程的通解…… 194
9. 2 二階線性偏微分方程的行波解........... .. .... … ... ..... … .. 195
9.3 達朗貝爾公式........…….......... 196
9. 3.1 一維波動方程的達朗貝爾公式…….......…………….. 196
9.3.2 達朗貝爾公式的物理意義……… 197
9.4 達朗貝爾公式的應用……......... 197
9.4. 1 齊次偏微分方程求解........…. 197
9.4.2 非齊次偏微分方程的求解……… 200
9. 5 定解問題的適定性驗證.........… 201
9. 6 典型綜合實例… .. .... .... ... ... ... .. 202
小結................…........….......….. 205
習題9 .......…......... .....….... ...….. 206
計算機仿真編程實踐................….. 206
第10 章 分離變量法...... .... .. .... ... .. 207
10.1 分離變量理論................….. 207
10. 1. 1 偏微分方程變量分離及條件… 207
10. 1. 2 邊界條件可實施變量分離的條件…….......…………….. 208
10.2 直角坐標系下的分離變量法… 208
10. 2.1 分離變量法介紹……………… 208
10.2.2 解的物理意義………………… 211
10.2.3 二維形式的直角坐標分離變量…........……….......... 212
10.2.4 直角坐標系分離變量例題分析..............….........…. 213
10.3 二維極坐標系下拉普拉斯方程的分離變量法............... 217
10.4 球坐標系下的分離變量法…… 219
10.4. 1 拉普拉斯方程也＝ O 的分離變量（與時間無關） .......... 219
10.4.2 與時間有關的方程的分離變量…….......…………….. 221
10.4.3 亥姆霍茲方程的分離變量…… 222
10.5 柱坐標系下的分離變量......... 223
10. 5.1 與時間元關的拉普拉斯方程分離變量…….......…………….. 223
10.5.2 與時間相關的方程的分離變量…….......…………….. 225
10.6 非齊次三階線性偏微分方程的解法................................. 225
10. 6.1 1自松方程非齊次方程的特解法.......................…….. 225
10.6.2 非齊次偏微分方程的傅里葉級數(shù)解法.......…………….. 227
10. 7 非齊次邊界條件的處理……… 229
10.8 典型綜合實例.........…......... 231
小結.......................................... 235
習題10 ……….............................. 237
計算機仿真編程實踐……............... 239
第11 章 冪級數(shù)解法一一本征值問題........……................ 240
11. 1 二階常微分方程的事級數(shù)解法…...............….......….. 240
11. 1.1 幕級數(shù)解法理論概述.......….. 240
11. 1. 2 常點鄰域上的事級數(shù)解法（勒讓德方程的求解）…......... 241
11. 1. 3 奇點鄰峨的級數(shù)解法（貝塞爾方程的求解） ..............……. 243
11. 2 施圖姆－劉維爾本征值……… 246
11.2.1 施圖姆－劉維爾本征值問題…… 246
11. 2. 2 施圖姆－劉維爾本征值問題的性質(zhì)…….......…………… .. 247
11.2.3 廣義悻里葉級數(shù)..............…. 249
11. 2.4 復數(shù)的本征函數(shù)族… … … …… 249
11. 2. 5 希爾伯特空間矢量分解......... 250
11. 3 綜合實例.........….........…… 250
小結.............….......................… 251
習題11 ........……......................... 252
計算機仿真編程實踐. . ... ..... ... ... … .. 252
第12 章 格林函數(shù)法................….. 253
12. 1 格林公式….... . ....…..... .. ….. 253
12.2 解泊松方程的格林函數(shù)法…… 253
12.3 元界空間的格林函數(shù)基本解… 256
12. 3. 1 三維球?qū)ΨQ情形……………… 257
12.3.2 工維軸對稱情形.................. 257
12.4 用電像法確定格林函數(shù). ... ... .. 258
12.4. 1 上半平面區(qū)域第一邊值問題的格林函數(shù)構建方法…………… 259
12.4.2 上半空間內(nèi)求解拉普拉斯方程的第一邊值問題.................…. 260
12.4.3 圓形區(qū)域第一邊值問題的格林函數(shù)構建.... . ..……………. . 261
12.4.4 球形區(qū)域第一邊值問題的格林函數(shù)掏建........……………. 262
12.5 典型綜合實例..................... 264
小結……..............…… ... ... … …… . 265
習題12 .............….......…........….. 266
計算機仿真編程實踐. . ..... ... ... ... …. . 267
第13 章 積分變換法求解定解問題… 268
13. 1 傅里葉變換及性質(zhì)……......... 268
13. 1. 1 傅里葉變換………………… 268
13. 1. 2 廣義儒里葉變換……………… 269
13. 1. 3 傅里葉變換的基本性質(zhì)……… 271
13.2 拉普拉斯變換及性質(zhì).......….. 276
13.2. 1 拉普拉斯變換………..... .. ….. 276
13.2.2 拉普拉斯變換的性質(zhì).......….. 278
13.2.3 拉普拉斯變換的反演…......... 281
13. 3 傅里葉變換法解數(shù)學物理定解問題........…...................... 283
13.3.1 弦振動問題........….......… 284
13.3.2 熱傳導問題….......…........ 285
13.3.3 穩(wěn)定場問題……............... 286
13.4 拉普拉斯變換解定解問題........…................ 288
13.4. 1 元界區(qū)域的問題…............... 288
13.4.2 半元界區(qū)域的問題…………… 288
小結…….................................….. 290
習題13 ........….................…........ 292
第14 章 保角變換法求解定解問題… 294
14. 1 保角變換與拉普拉斯方程邊值問題的關系........................ 294
14. 2 保角變換法求解定解問題典型實例….................…………. 295
習題14 .................…….. ......…….. 299
第15 章 戴學物理方程綜述............ 300
15. 1 線性偏微分方程解法綜述… … 300
15.2 非線性偏微分方程….......….. 301
15. 2.1 孤立波…...........…………….. 302
15.2.2 沖擊波….......…………….. 303
小結.....................................….. 304
第二篇 綜合測試題… . . ... .. . . . ... . .. … . . 305
第三篇 特殊函數(shù)
第16 章勒讓德多項式－一球函數(shù)… 308
16. 1 勒讓德方程及其解的表示…… 308
16. 1. 1 勒讓德方程、勒讓德多項式…… 308
16. 1. 2 勒讓德多項式的表示………… 308
16.2 勒讓德多項式的性質(zhì)及其應用...............…............... 311
16. 2.1 勒讓德多項式的性質(zhì)………… 311
16.2.2 勒讓德多項式的應用（廣義得墾葉級數(shù)展開）…………… 313
16.3 勒讓德多項式的生成函數(shù)（母函數(shù)） ........…................ 315
16. 3.1 勒讓德多項式的生成函數(shù)的定義…….......…………….. 315
16.3.2 勒讓德多項式的遞推公式…… 316
16.4 連帶勒讓德函數(shù).............….. 318
16.4. 1 連帶勒讓德函數(shù)的定義……… 318
16.4.2 連帶勒讓德函數(shù)的微分表示… 319
16.4.3 連帶勒讓德函數(shù)的積分表示… 320
16.4.4 連帶勒讓德函數(shù)的正交關系與模的公式…….......…........ 320
16.4.5 連帶勒讓德函數(shù)一一廣義傅里葉級數(shù)..............…….......... 320
16.4.6 連帶勒讓德函數(shù)的遞推公式… 321
16.5 球函數(shù)…….......….........….. 321
16. 5.1 球函數(shù)的方程及其解………… 321
16.5.2 球函數(shù)的正交關系和模的公式........….........…. 322
16.5.3 球面上函數(shù)的廣義傅里葉級數(shù)……............... 323
16.5.4 拉普拉斯方程的非軸對稱定解問題…….... . ..……………. . 324
16.6 典型綜合實例. . ... .. . ... . . . .. … .. 325
小結…….............. …… … ... ... .….. 328
習題16 …….................……………. 331
計算機仿真編程實踐................….. 331
第17 章 貝塞爾函數(shù)................….. 332
17. 1 貝塞爾方程及其解……......... 332
17. 1. 1 貝塞爾方程……............... 332
17. 1. 2 貝塞爾方程的解…….... . . . …. . 333
17.2 三類貝塞爾函數(shù)的表示式及性質(zhì)………..........….........…. 333
17.2. 1 第一類貝塞爾函數(shù)…………… 333
17.2.2 第二類貝塞爾函數(shù)…………… 335
17. 2. 3 第三類貝塞爾函數(shù)........……. 335
17.3 貝塞爾函數(shù)的基本性質(zhì)......... 336
17. 3. 1 貝塞爾函數(shù)的遞推公式……… 336
17.3.2 貝塞爾函數(shù)與本征值問題…… 338
17.3.3 貝塞爾函數(shù)的正交性和�！� … 340
17.3.4 廣義德里葉－貝塞爾級教… … … 341
17.3.5 貝塞爾函數(shù)的母函數(shù)（生成函數(shù)） …..........….........…. 342
17.4 虛宗量貝塞爾方程及其解…… 343
17.4. 1 虛宗量貝塞爾方程的解……… 343
17.4.2 第一類虛宗量貝塞爾函數(shù)的性質(zhì)......................…….. 344
17.4.3 第二類虛宗量貝塞爾函數(shù)的性質(zhì)…........………………. 345
17.5 球貝塞爾方程及其解…......... 345
17. 5.1 球貝塞爾方程….......…........ 345
17.5.2 球貝塞爾方程的解…………… 345
17.5.3 球貝塞爾函數(shù)的級數(shù)表示…… 346
17.5.4 球貝塞爾函數(shù)的遞推公式…… 346
17.5.5 球貝塞爾函數(shù)的初等函數(shù)表示式…........…........….. 346
17.5.6 球形區(qū)域內(nèi)的球貝塞爾方程的本征值問題…………… 347
17. 6 典型綜合實例..................... 348
小結................…........….......….. 350
習題17 …........…………….........…. 352
討算機仿真編程實踐................….. 353
第三篇綜合測試題.... . .... … . ... ... …. . 353
第四篇 計算機仿真與實踐
第18 章 計算機仿真在復變函數(shù)中的應用..............….........…. 355
18. 1 復數(shù)運算和復變函數(shù)的圖形… 355
18. 1. 1 復數(shù)的基本運算…........……. 355
18. 1. 2 復數(shù)的運算..............……. 355
18. 1. 3 復變函數(shù)的圖形..............…. 357
18.2 復變函數(shù)的極限與導數(shù)、解析函數(shù)..............…................ 360
18. 2.1 復變函數(shù)的極限……………… 360
18.2.2 復變函數(shù)的導數(shù)……........…. 361
18.2.3 解析函數(shù).......…………….. 361
18.3 復變畫數(shù)的積分與留數(shù)定理… 362
18. 3.1 非閉合路徑的積分計算……… 362
18.3.2 閉合路徑的積分計算…......... 362
18.4 復變畫數(shù)級數(shù)….......…........ 364
18.4. 1 復變函數(shù)級數(shù)的收斂半徑.........….........… 364
18.4.2 單變量函數(shù)的泰勒級數(shù)展開… 365
18.4.3 多變量函數(shù)的泰勒級數(shù)展開… 366
18.5 傅里葉變換及其逆變換......... 367
18.5. 1 傅里葉積分變換.......…........ 367
18.5.2 傅里葉逆變換.................…. 368
18.6 拉普拉斯變換及其逆變換…… 368
18. 6.1 拉普拉斯變換..............……. 368
18.6.2 拉普拉斯逆變換..............…. 369
計算機仿真編程實踐……............... 370
第19 章 數(shù)學物理方程的計算機仿真求解.............................. 371
19. 1 用偏微分方程工具箱求解偏微分方程.........….......….. 371
19. 1. 1 用GUI 解PDE 問題………… 371
19. 1. 2 計算結果的可視化…........…. 372
19.2 計算機仿真編程求解偏微分方程................................. 374
19.2. 1 雙曲型：波動方程的求解......... 374
19.2.2 拋物型：熱傳導方程的求解…… 377
19.2.3 橢圓型：穩(wěn)定場方程的求解…… 379
19.2.4 點源泊松方程的適應解……… 381
19.2.5 亥姆霍茲方程的求解………… 382
19.3 定解問題的計算機仿真顯示… 383
19. 3.1 波動方程解的動態(tài)由示……… 384
19.3.2 熱傳導方程解的分布…......... 385
19.3.3 1自松方程解的分布…………… 386
19. 3.4 格林函數(shù)解的分布............... 387
19. 3. 5 本征值問題中本征函數(shù)的收斂及其分布......................…….. 388
討算機仿真編程實踐..................... 389
第20 章 特殊函數(shù)的計算機仿真應用……........…........….. 390
20.1 連帶勒讓德函數(shù)、勒讓德多項式、球函數(shù)..............……………. 390
20. 1. 1 連帶勒讓德函數(shù)……………… 390
20. 1. 2 勒讓德多項式................….. 390
20. 1. 3 球函數(shù)..............…………. 391
20. 1.4 勒讓德多項式的母函數(shù)圖形… 391
20.2 貝塞爾畫數(shù)（柱函數(shù)）及其性質(zhì)….........….......….. 392
20. 2.1 貝塞爾函數(shù)及仿真........……. 392
20.2.2 虛宗量貝塞爾函數(shù)............... 394
20.2.3 球貝塞爾函數(shù)的圖形………… 394
20.2.4 平面被用柱面波形式展開…… 395
20. 2.5 定解問題的圖形顯示….... . .... 396
20.3 其他特殊函數(shù)…… .... .... ....... 397
計算機仿真編程實踐.........… .. ....... 397
第21 章 數(shù)學物理方法仿真實踐…… 398
21. 1 復變函數(shù)仿真實踐.... .....…… 398
21. 2 數(shù)學物理方程仿真實踐......... 400
21. 2. 1 基模高斯光束的傳輸特性仿真………................… .. 400
21. 2. 2 光子晶體中本征值問題的仿真…….......…………….. 403
21. 3 特殊函數(shù)應用仿真實踐一一布拉格光纖光傳輸特性仿真… 405
參考文獻.................... . ........... .... 410