本書共分6章，主要涉及分數階偏微分方程的理論分析以及數值計算。第1章著重介紹分數階導數的由來以及一些分數階偏微分方程的物理背景；第2章介紹Riemann-Liouville等分數階導數以及分數階Sobolev空間、交換子估計等常用的工具；第3章從理論的角度討論一些重要的偏微分方程；從第4章開始重點討論分數階偏微分方程的數值計算，介紹了有限差分法、級數逼近法（主要是Adomian分解和變分迭代法）、有限元法以及譜方法、無網格法等計算方法。本書涵蓋了該領域的一些前沿結果以及作者目前的一些研究結果。
本書可供大學數學專業(yè)、應用數學專業(yè)和計算數學專業(yè)的高年級學生、研究生、教師以及相關的科技工作者閱讀、參考。
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目錄
前言
第1章 數學物理中的分數階微分方程 1
1.1 分數階導數的由來 1
1.2 反常擴散與分數階擴散對流 4
1.2.1 隨機游走和分數階方程 5
1.2.2 分數階擴散對流方程 8
1.2.3 分數階Fokker-Planck方程 9
1.2.4 分數階Klein-Kramers方程 12
1.3 分數階準地轉方程(QGE) 12
1.4 分數階Schrodinger方程 16
1.5 分數階Ginzburg-Landau方程 18
1.6 分數階Landau-Lifshitz方程 22
1.7 分數階微分方程的一些應用 23
第2章 分數階微積分與分數階方程 28
2.1 分數階積分和求導 28
2.1.1 Riemann-Liouville分數階積分 28
2.1.2 R-L分數階導數 35
2.1.3 R-L分數階導數的拉普拉斯變換 40
2.1.4 其他的分數階導數定義 42
2.2 分數階拉普拉斯算子 48
2.2.1 定義與背景 48
2.2.2 分數階拉普拉斯算子的性質 52
2.2.3 擬微分算子 56
2.2.4 Riesz位勢與Bessel位勢 62
2.2.5 分數階Sobolev空間 63
2.2.6 交換子估計 68
2.3 解的存在唯一性 74
2.3.1 序列分數階導數 74
2.3.2 線性分數階微分方程 75
2.3.3 般的分數階常微分方程 77
2.3.4 例子——Mittag-Leffler函數的應用 80
2.4 附錄A 傅里葉變換 82
2.5 附錄B 拉普拉斯變換 89
2.6 附錄C Mittag-Leffler函數 91
2.6.1 Gamma函數和Beta函數 91
2.6.2 Mittag-Leffler函數 93
第3章 分數階偏微分方程 95
3.1 分數階擴散方程 95
3.2 分數階Schrodinger方程 98
3.2.1 空間分數階導數的Schrodinger方程 98
3.2.2 時間分數階導數的Schrodinger方程 109
3.2.3 一維分數階Schrodinger方程的整體適定性 113
3.3 分數階Ginzburg-Landau方程 120
3.3.1 弱解的存在性 120
3.3.2 強解的整體存在性 125
3.3.3 吸引子的存在性 131
3.4 分數階Landau-Lifshitz方程 135
3.4.1 黏性消去法 136
3.4.2 Ginzburg-Landau逼近與漸近極限 142
3.4.3 高維情形——Galerkin逼近 148
3.5 分數階QG方程 160
3.5.1 解的存在唯一性 161
3.5.2 無黏極限 170
3.5.3 長時間行為——衰減相逼近 174
3.5.4 吸引子的存在性 181
3.6 邊值問題——調和延拓方法 189
第4章 分數階微積分的數值逼近 198
4.1 分數階微積分定義及其相互關系 198
4.2 Riemann-Liouville分數階微積分的G算法 201
4.3 Riemann-Liouville分數階導數的D算法 204
4.4 Riemann-Liouville分數階積分的R算法 207
4.5 分數階導數的L算法 209
4.6 分數階差商逼近的一般通式 210
4.7 經典整數階數值微分、積分公式的推廣 212
4.7.1 經典向后差商及中心差商格式的推廣 212
4.7.2 插值型數值積分公式的推廣 214
4.7.3 經典線性多步法的推廣：Lubich分數階線性多步法 215
4.8 其他方法技巧的應用 218
4.8.1 利用傅里葉級數計算周期函數的分數階微積分 218
4.8.2 短記憶原理 218
第5章 分數階常微分方程數值求解方法 220
5.1 分數階線性微分方程的解法 220
5.2 一般分數階常微分方程的解法 221
5.2.1 直接法 222
5.2.2 間接法 225
5.2.3 差分格式 226
5.2.4 誤差分析 227
第6章 分數階偏微分方程數值解法 230
6.1 空間分數階對流-擴散方程 231
6.2 時間分數階偏微分方程 234
6.2.1 差分格式 235
6.2.2 穩(wěn)定性分析：Fourier-Von Neumann方法 235
6.2.3 誤差分析 236
6.3 時間-空間分數階偏微分方程 238
6.3.1 差分格式 238
6.3.2 穩(wěn)定性及收斂性分析 239
6.4 非線性分數階偏微分方程的數值計算 244
6.4.1 Adomian分解法 244
6.4.2 變分迭代法 246
參考文獻 248
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