本書作為一本為中小學(xué)生量身定做的神奇數(shù)學(xué)魔法書, 通過實(shí)例詳細(xì)地介紹講解了20種常用的數(shù)學(xué)速算及巧算的方法, 以及26個(gè)常見數(shù)學(xué)題型的解題技巧。并在每節(jié)中用實(shí)例介紹了這些方法和技巧的應(yīng)用。保證你一看就懂, 一學(xué)就會(huì)。讓你不禁感慨: 如此神奇的算法, 為啥數(shù)學(xué)老師沒有教給我!
本書作為一本為中小學(xué)生量身定做的神奇數(shù)學(xué)魔法書，通過實(shí)例詳細(xì)地介紹講解了20種常用的數(shù)學(xué)速算及巧算的方法，以及26個(gè)常見數(shù)學(xué)題型的解題技巧。并在每節(jié)中用實(shí)例介紹了這些方法和技巧的應(yīng)用。保證你一看就懂，一學(xué)就會(huì)。讓你不禁感慨：如此神奇的算法，為啥數(shù)學(xué)老師沒有教給我！
計(jì)算在我們的日常學(xué)習(xí)、生活和工作中都有著極為廣泛的應(yīng)用。從我們進(jìn)入學(xué)校開始，計(jì)算便貫穿于數(shù)學(xué)教學(xué)的全過程。計(jì)算能力是每個(gè)人都要具備的基本能力，也是學(xué)好數(shù)學(xué)和其他學(xué)科的基礎(chǔ)和關(guān)鍵。
所謂計(jì)算能力，就是指數(shù)學(xué)上的化歸和轉(zhuǎn)化的能力，即把抽象的、復(fù)雜的數(shù)學(xué)表達(dá)式或數(shù)字通過數(shù)學(xué)方法轉(zhuǎn)換為我們可以理解的數(shù)學(xué)式子，并得出結(jié)果的能力。這就要求我們不僅能夠正確地進(jìn)行整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)等四則運(yùn)算，還要對(duì)其中一些基本計(jì)算達(dá)到一定的熟練程度，并掌握一些基本的方法和技巧，逐步做到計(jì)算方法合理、準(zhǔn)確、快速、靈活。
因此，我們不能“死”做題，要注意總結(jié)歸納。發(fā)現(xiàn)各種題目的特點(diǎn)、差別，相應(yīng)地運(yùn)用不同的方法和技巧進(jìn)行速算和巧算。
速算與巧算是利用數(shù)與數(shù)之間的特殊關(guān)系進(jìn)行較快的加、減、乘、除運(yùn)算。它可以不借助任何計(jì)算工具，而是運(yùn)用一種思維、一種方法，快速而準(zhǔn)確地計(jì)算加、減、乘、除、乘方等運(yùn)算。
大家知道，在美國(guó)科技重地硅谷，從事IT業(yè)的工程師大多來自印度。他們*大的優(yōu)勢(shì)就是數(shù)學(xué)比別人好，這一切都得益于它們獨(dú)特的數(shù)學(xué)教育法。印度數(shù)學(xué)里的計(jì)算方法與我們所學(xué)習(xí)的有很多不同之處。其中*有特色的就是它的速算和巧算。
這些速算與巧算的方法可以比我們一般的計(jì)算方法快10到15倍，學(xué)會(huì)了這些能夠在幾秒鐘內(nèi)口算或心算出三四位數(shù)的復(fù)雜運(yùn)算。這些方法簡(jiǎn)單直接，即使是沒有數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的人也能很快掌握它，而且還非常有趣，運(yùn)算過程就像游戲一樣令人著迷。
比如，計(jì)算25×25，用我們今天的算法，無(wú)非是列出豎式逐位相乘，然后相加。但是用這種方法來計(jì)算就非常簡(jiǎn)單了，只需看這個(gè)數(shù)的十位數(shù)字，如果是2，那么用2乘以比它大1的數(shù)字3，得到6，在它的后面加上25，即625就是25×25的結(jié)果了。怎么樣，是不是很神奇呢？這種方法對(duì)個(gè)位是5的相同兩位數(shù)相乘都是適用的，大家不妨驗(yàn)算一下。
本書匯集了全世界（包括印度數(shù)學(xué)和我國(guó)古代和現(xiàn)代數(shù)學(xué)在內(nèi)）的幾乎所有中小學(xué)生常用的速算、巧算的技巧和方法。這些影響了世界幾千年的速算秘訣，不僅可以強(qiáng)化孩子的運(yùn)算能力，還能夠改變他們的思維方式，讓同學(xué)們從一開始就站在不一樣的起點(diǎn)上。
這些巧妙的方法和技巧靈活多樣、不拘一格，一道題通�？梢杂袃傻饺N完全不同的算法。而且這些解題方式有別于我們傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)方法，總是竅門多多，方法神奇，更簡(jiǎn)單、更快捷、更有技巧性。不但可以提高孩子們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，還大大提升了計(jì)算的速度和準(zhǔn)確性，而且訓(xùn)練了孩子們超強(qiáng)的邏輯思維能力，使他們能夠在今后的工作和生活中更加出類拔萃。
中小學(xué)學(xué)生學(xué)習(xí)速算的五個(gè)理由：
（1） 提高運(yùn)算速度，節(jié)省運(yùn)算時(shí)間，提高學(xué)習(xí)效率。
（2） 提高運(yùn)算的準(zhǔn)確率，提高成績(jī)。
（3） 掌握數(shù)學(xué)運(yùn)算的速算思想，探求數(shù)字中的規(guī)律，發(fā)現(xiàn)數(shù)字的美妙。
（4） 學(xué)習(xí)速算可以提高大腦的思維能力、快速反應(yīng)能力、準(zhǔn)確的記憶能力
（5） 培養(yǎng)創(chuàng)新意識(shí)，養(yǎng)成創(chuàng)新習(xí)慣。
本書并非只適合孩子，同樣適合想改變和訓(xùn)練思維方式的成年人。對(duì)孩子來說，它可以提高他們對(duì)數(shù)學(xué)的興趣，愛上數(shù)學(xué)，喜歡動(dòng)腦，還可以提高計(jì)算的速度和準(zhǔn)確性，提高他們的學(xué)習(xí)成績(jī)；對(duì)成年人來說，它可以改變其思維方式，令其在工作和生活中出類拔萃、與眾不同。
快讓我們一起進(jìn)入數(shù)學(xué)速算的奇妙世界，學(xué)習(xí)魔法般神奇的速算法吧！
參與本書編寫的人員有于雷、羅飛、于艷華、龔宇華、于艷苓、何正雄、李志新、何晶、李方偉、王春風(fēng)、魏銀波、于艷娟、石秀芹（排名不分先后）等，在此表示感謝。
編者2017年3月
目錄
*部分?jǐn)?shù)學(xué)運(yùn)算中的一些方法和技巧
一、 湊整法
1. 任意數(shù)乘以5、25、125的速算技巧
2. 任意數(shù)乘以55的速算技巧
3. 任意數(shù)乘以5的奇數(shù)倍
4. 任意數(shù)乘以15的速算技巧
5. 擴(kuò)展： 任意數(shù)乘以1.5的速算技巧
6. 擴(kuò)展： 任意數(shù)乘以15%的速算技巧
7. 尾數(shù)為5的兩位數(shù)的平方
8. 擴(kuò)展： 尾數(shù)為6的兩位數(shù)的平方
9. 擴(kuò)展： 尾數(shù)為7的兩位數(shù)的平方
10. 擴(kuò)展： 尾數(shù)為8的兩位數(shù)的平方
11. 擴(kuò)展： 尾數(shù)為9的兩位數(shù)的平方
12. 尾數(shù)為1的兩位數(shù)的平方
13. 任意數(shù)除以5的速算技巧
14. 擴(kuò)展： 除數(shù)以5結(jié)尾的速算技巧
15. 連除式題的速算技巧
16. 乘除混合運(yùn)算的速算技巧
17. 用湊整法做加法
18. 用湊整法算減法
19. 用湊整法算小數(shù)
20. 用湊整法算分?jǐn)?shù)
二、 補(bǔ)數(shù)法
1. 巧用補(bǔ)數(shù)做加法
2. 巧用補(bǔ)數(shù)做減法
3. 巧用補(bǔ)數(shù)做乘法
4. 巧用補(bǔ)數(shù)做除法
三、 基準(zhǔn)數(shù)法
1. 用基準(zhǔn)數(shù)法計(jì)算連加法
2. 求互補(bǔ)的兩個(gè)數(shù)的差
3. 接近100的兩個(gè)數(shù)字相乘
4. 擴(kuò)展： 接近200的兩個(gè)數(shù)字相乘
5. 擴(kuò)展： 接近50的兩個(gè)數(shù)字相乘
6. 擴(kuò)展： 接近30的兩個(gè)數(shù)字相乘
7. 25～50之間的兩位數(shù)的平方
8. 心算11~19的平方
9. 擴(kuò)展： 心算21~29的平方
10. 擴(kuò)展： 心算31~39的平方
11. 用基數(shù)法計(jì)算三位數(shù)的平方
12. 用基準(zhǔn)數(shù)法算兩位數(shù)的立方
四、 平方數(shù)法
1. 任意兩位數(shù)的平方
2. 擴(kuò)展： 任意三位數(shù)的平方
3. 用中間數(shù)算乘法
4. 用模糊中間數(shù)算乘法
5. 用較小數(shù)的平方算乘法
6. 用因式分解求兩位數(shù)的平方
7. 擴(kuò)展： 用因式分解求三位數(shù)的平方
8. 任意兩位數(shù)的立方
9. 用因式分解求兩位數(shù)的立方
10. 求完全平方數(shù)的平方根
11. 求完全立方數(shù)的立方根
五、 十字相乘法
1. 用十字相乘法做兩位數(shù)乘法
2. 三位數(shù)與兩位數(shù)相乘
3. 四位數(shù)與兩位數(shù)相乘
4. 三位數(shù)乘以三位數(shù)
5. 四位數(shù)乘以三位數(shù)
6. 二元一次方程的解法
7. 同分子分?jǐn)?shù)的加減法
六、 拆分法
1. 用拆分法算加法1
2. 用拆分法算加法2
3. 用拆分法算減法
4. 被減數(shù)為100、1000、10000的減法
5. 兩位數(shù)減一位數(shù)
6. 兩位數(shù)減法運(yùn)算
7. 三位數(shù)減兩位數(shù)
8. 三位數(shù)減法運(yùn)算
9. 用拆分法算兩位數(shù)乘法
10. 將數(shù)字分解成容易計(jì)算的數(shù)字
11. 任意數(shù)字與12相乘
12. 兩位數(shù)與一位數(shù)相乘
13. 兩位數(shù)與兩位數(shù)相乘
14. 任意三位數(shù)的平方
15. 任意四位數(shù)的平方
16. 任意數(shù)字與4相除
17. 用拆分法算分?jǐn)?shù)
18. 用裂項(xiàng)法算分?jǐn)?shù)
七、 分組法
1. 四位數(shù)加法運(yùn)算
2. 求連續(xù)數(shù)的和
八、 錯(cuò)位法
1. 把純循環(huán)小數(shù)轉(zhuǎn)換成分?jǐn)?shù)
2. 任意數(shù)與9相乘
3. 擴(kuò)展： 數(shù)字對(duì)調(diào)的兩位數(shù)減法
4. 任意數(shù)與99相乘
5. 任意數(shù)與999相乘
6. 擴(kuò)展： 任意數(shù)與9、99、999相乘的其他解法
7. 兩位數(shù)與11相乘
8. 擴(kuò)展： 數(shù)字對(duì)調(diào)的兩位數(shù)加法
9. 三位以上的數(shù)字與11相乘
10. 三位以上的數(shù)字與111相乘
11. 用錯(cuò)位法做乘法
12. 中間有0的三位數(shù)的平方
13. 中間有0的四位數(shù)的平方之一
14. 中間有0的四位數(shù)的平方之二
15. 十幾乘以任意數(shù)的速算
16. 如果除數(shù)是9
九、 圖表法
1. 用格子做加法
2. 用節(jié)點(diǎn)法做乘法
3. 用網(wǎng)格法算乘法
4. 用三角格子算乘法
5. 用面積法做兩位數(shù)乘法
6. 十位數(shù)相同的兩位數(shù)相乘
7. 十位相同個(gè)位互補(bǔ)的兩位數(shù)相乘
8. 十位互補(bǔ)個(gè)位相同的兩位數(shù)相乘
9. 十位互補(bǔ)個(gè)位不同的兩位數(shù)相乘
10. 一個(gè)首尾相同另一個(gè)首尾互補(bǔ)的兩位數(shù)
相乘
11. 擴(kuò)展： 一個(gè)各位數(shù)相同的數(shù)乘以一個(gè)首尾
互補(bǔ)的兩位數(shù)
12. 擴(kuò)展： 一個(gè)數(shù)為相同數(shù)的兩位數(shù)，一個(gè)數(shù)為
兩互補(bǔ)數(shù)循環(huán)的乘法
13. 尾數(shù)為1的兩位數(shù)相乘
14. 11~19之間的整數(shù)相乘
15. 100~110之間的整數(shù)相乘
十、 特殊值法
1. 一些特殊的分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)換成小數(shù)
2. 擴(kuò)展： 如果除數(shù)是11
3. 擴(kuò)展： 如果除數(shù)是99
4. 用一句話記住圓周率
5. 神奇的數(shù)字規(guī)律
6. 十位是5的兩位數(shù)的平方
十一、 估算法
1. 除數(shù)是兩位數(shù)的除法巧妙試商
2. 一個(gè)數(shù)除以9的神奇規(guī)律
十二、 截位法
1. 用截位法求多位數(shù)加法
2. 用截位法求多位數(shù)除法
十三、 放縮法
1. 兩位數(shù)除以一位數(shù)
2. 三位數(shù)除以一位數(shù)
3. 兩位數(shù)除以兩位數(shù)
4. 三位數(shù)除以兩位數(shù)
5. 如果被除數(shù)與除數(shù)都是偶數(shù)
十四、 直除法
1. 多位數(shù)乘一位數(shù)的運(yùn)算技巧
2. 一位數(shù)除法運(yùn)算
十五、 化同法
1. 約數(shù)與倍數(shù)
2. 通分與約分
十六、 差分法
1. 變型式差分法
2. 分?jǐn)?shù)大小比較的其他方法
十七、 尾數(shù)法
1. 用尾數(shù)法確定完全平方數(shù)的平方根
2. 自然數(shù)n次方尾數(shù)的變化規(guī)律
3. 多次方數(shù)
4. 數(shù)的整除特性
5. 判斷奇偶特性
十八、 整體法
1. 用整體法計(jì)算復(fù)雜計(jì)算題
2. 兩行豎式加法
2. 三行豎式加法
3. 兩行豎式減法
4. 三行豎式減法
十九、 手算法
1. 一位數(shù)與9相乘的手算法
2. 兩位數(shù)與9相乘的手算法
3. 6~10之間乘法的手算法
4. 11~15之間乘法的手算法
5. 16~20之間乘法的手算法
二十、 印度驗(yàn)算法
第二部分常見題型的解題技巧
1. 相遇問題
2. 追及問題
3. 相離問題
4. 流水問題
5. 和差倍問題
6. 植樹問題
7. 濃度問題
8. 工程問題
9. 集合問題
10. 統(tǒng)籌問題
11. 利潤(rùn)問題
12. 比例問題
13. 抽屜問題
14. 年齡問題
15. 余數(shù)問題
16. 時(shí)鐘問題
17. 排列組合問題
18. 日期問題
19. 方陣問題
20. 幾何問題
21. 雞兔同籠問題
22. 賽制問題
23. 頁(yè)碼問題
24. 數(shù)列問題
25. 珠心算問題
參考文獻(xiàn)
*部分?jǐn)?shù)學(xué)運(yùn)算中的一些方法和技巧
很多數(shù)學(xué)運(yùn)算都有一些特殊的方法和技巧。我們可以利用公式和數(shù)的特性等，將復(fù)雜的計(jì)算過程轉(zhuǎn)化成簡(jiǎn)單的計(jì)算，從而得出我們想要的答案。充分利用這些方法和技巧可以使原本復(fù)雜的計(jì)算大大簡(jiǎn)化，并增加準(zhǔn)確性。下面就來簡(jiǎn)單列舉一些常用的方法和技巧。
一、 湊整法
“湊整法”是在計(jì)算過程當(dāng)中，將中間步驟中的某些數(shù)字湊成一個(gè)“整數(shù)”（整十、整百、整千等方便計(jì)算的數(shù)字），從而簡(jiǎn)化計(jì)算。
比如我們?cè)谟?jì)算56×99等于幾的時(shí)候，很多人覺得無(wú)法通過口算計(jì)算出結(jié)果，其實(shí)如果我們運(yùn)用湊整法就會(huì)很簡(jiǎn)單,即把它變成56×（100－1）就行了。
湊整法是簡(jiǎn)便運(yùn)算中*常用的一種計(jì)算方法，在具體計(jì)算時(shí)，除了在過程中湊整，我們還可以綜合運(yùn)用數(shù)字運(yùn)算的交換律、結(jié)合律等，把可以湊成整十、整百、整千等計(jì)算起來更加方便的數(shù)放在一起先行運(yùn)算，從而提高運(yùn)算速度。
運(yùn)用湊整法，*重要的是觀察數(shù)字的特征，判斷哪些數(shù)字可以湊整，然后應(yīng)用相關(guān)的定律和性質(zhì)進(jìn)行運(yùn)算，通常能夠化繁為簡(jiǎn)�？梢赃\(yùn)用湊整法的數(shù)學(xué)運(yùn)算題目一般有以下幾種。
① 加法“湊整”。利用加法的交換律、結(jié)合律“湊整”。如：
2526＋1293＋7474＋2707
＝（2526＋7474）＋（1293＋2707）
＝10000＋4000
＝14000
② 減法“湊整”。利用減法性質(zhì)“湊整”。如：
2537－118－382
＝2537－（118＋382）
＝2537－500
＝2037
③ 乘法“湊整”。利用乘法交換律、結(jié)合律、分配律“湊整”。如：
8×34×25×125×4
＝（125×8）×（4×25）×34
＝1000×100×34
＝3400000
④ 和（差）代替“湊整”。利用和或差代替原數(shù)進(jìn)行“湊整”。
如126、99、102等，我們可以用（125＋1）、（100－1）、（100＋2）等來代替，使運(yùn)算變得比較簡(jiǎn)便、快速。
要想能夠快速準(zhǔn)確地判斷和學(xué)習(xí)湊整法，我們需要記住一些*基本的湊整算式：
5×2＝10
25×4＝100
25×8＝200
25×16＝400
125×4＝500
125×8＝1000
125×16＝2000
625×4＝2500
625×8＝5000
625×16＝10000
…
記住這些常見的湊整算式，我們就可以在運(yùn)用湊整法計(jì)算題目時(shí)更加得心應(yīng)手了。
1. 任意數(shù)乘以5、25、125的速算技巧
方法：
A×5型式子的速算技巧： A×5＝10A÷2。
A×25型式子的速算技巧： A×25＝100A÷4。
A×125型式子的速算技巧： A×125＝1000A÷8。
提示： A為變量，代表任意數(shù)。
例子：
（1） 計(jì)算8739.45×5＝。
解：
10×8739.45÷2
所以8739.45×5＝43697.25。
（2） 計(jì)算7234×25=。
解：
7234×100÷4
所以7234×25＝180850。
（3） 計(jì)算8736×125=。
解：
8736×1000÷8
所以8736×125＝1092000。
練習(xí)：
（1） 計(jì)算36.843×5＝。
（2） 計(jì)算3714×25＝。
（3） 計(jì)算4115×125＝。
2. 任意數(shù)乘以55的速算技巧
方法：
（1） 被乘數(shù)除以2(如除不盡則取整數(shù)部分)。
（2） 被乘數(shù)是單數(shù)則補(bǔ)5，雙數(shù)則補(bǔ)0。
（3） 將上步結(jié)果乘以11。
例子：
（1） 計(jì)算37×55＝。
解：
37÷2＝18
因?yàn)?7是單數(shù)，后面補(bǔ)5為185。
185×11＝2035
所以37×55＝2035
（2） 計(jì)算32×55＝。
解：
32÷2＝16
因?yàn)?2是雙數(shù)，后面補(bǔ)0為160。
160×11＝1760
所以32×55＝1760
（3） 計(jì)算78×55＝。
解：
78÷2＝39
因?yàn)?8是雙數(shù)，后面補(bǔ)0為390。
390×11＝4290
所以78×55＝4290
練習(xí)：
（1） 計(jì)算178×55＝。
（2） 計(jì)算97×55＝。
（3） 計(jì)算26×55＝。
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